1. 相机成像原理：小孔成像模型、透镜畸变、相机坐标系与像素坐标系

相机标定这件事，说白了就是搞清楚「三维世界里的点，是怎么跑到二维照片上的」。我刚开始做视觉项目时，总觉得标定就是拍几张棋盘格、跑个函数完事。直到有一次在产线上，标定出来的内参死活不对，投影误差大得离谱……后来才发现，是我没搞懂最基础的成像模型。

这一节，咱们就把相机成像的底子打牢。你理解了小孔成像、畸变、坐标系变换，后面的角点提取和标定才能做得稳。

1.1 小孔成像模型

相机最原始的模型，就是小孔成像。你想想看，一个暗箱，前面戳个小孔，外面的光线穿过小孔，在后面的感光面上形成一个倒立的像。这就是最朴素的成像原理。

X_image = -f * (X_world / Z_world)
Y_image = -f * (Y_world / Z_world)

实际相机为了处理方便，会把倒像「正过来」，所以公式里通常省略负号。现代相机用透镜代替小孔，但核心思想没变——世界坐标到图像坐标，是一个透视投影关系。

1.2 透镜畸变

理想的小孔模型没有畸变，但真实相机用的是透镜。透镜有厚度、有曲率，光线穿过时会发生折射偏移。这就导致了畸变。

畸变主要分两类：

径向畸变又分两种：

• 桶形畸变：图像向外鼓，像鱼眼镜头那样。我最早用广角摄像头做室内定位时，就被桶形畸变坑过——墙角明明是直的，拍出来却是弯的。
• 枕形畸变：图像向内缩，长焦镜头容易出现。

畸变的数学模型长这样：

// 径向畸变（k1, k2, k3 是畸变系数）
x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

// 切向畸变（p1, p2 是畸变系数）
x_distorted = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_distorted = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

1.3 相机坐标系与像素坐标系

搞懂坐标系，是标定的基本功。我见过不少新手，把世界坐标、相机坐标、图像坐标、像素坐标混在一起算，结果怎么算都不对。咱们一个一个捋清楚。

一共涉及四个坐标系：

1. 世界坐标系 (Xw, Yw, Zw)：你自定义的全局参考系。棋盘格标定板上的角点坐标，就是在这个系里定义的。
2. 相机坐标系 (Xc, Yc, Zc)：以相机光心为原点，Zc 轴沿光轴方向。世界坐标到相机坐标，靠的是旋转矩阵 R 和平移向量 t。
3. 图像坐标系 (x, y)：在成像面上，以光轴与成像面交点为原点，单位是毫米。相机坐标到图像坐标，靠的是小孔成像的透视投影。
4. 像素坐标系 (u, v)：在图像上，以左上角为原点，单位是像素。图像坐标到像素坐标，靠的是缩放和平移（内参矩阵 K 的一部分）。

整个变换链条是这样的：

世界坐标 (Xw,Yw,Zw) 
  → [R|t] 外参 
  → 相机坐标 (Xc,Yc,Zc) 
  → 透视投影 
  → 图像坐标 (x,y) 
  → 内参矩阵 K 
  → 像素坐标 (u,v)

K = [ fx   0   cx
      0    fy   cy
      0    0    1 ]

1.4 知识结构总览

下面这张图，把这一节的核心逻辑串起来了。我建议你把它存下来，后面学标定流程时随时回来对照。

1.5 坐标系变换的数学表达

把上面的链条写成矩阵形式，就是标定里最核心的公式：

s * [u, v, 1]^T = K * [R|t] * [Xw, Yw, Zw, 1]^T

其中：

• s 是尺度因子（因为透视投影丢失了深度信息）
• K 是内参矩阵（3×3）
• [R|t] 是外参矩阵（3×4）
• [Xw, Yw, Zw, 1]^T 是世界坐标的齐次形式

1.6 为什么需要标定？

说白了，相机出厂时内参和畸变系数是未知的。就算厂家给了标称值，也跟实际有偏差——温度、装配、镜头批次都会影响。我遇到过最夸张的一次，同一型号的两台相机，fx 差了 15 个像素。不标定直接做三维重建，误差能偏到天上去。

标定的目的，就是通过拍摄已知几何结构的标定物（比如棋盘格），用数学方法反算出 K 和畸变系数。有了这些参数，你才能：

• 把像素坐标还原成相机坐标（去畸变 + 逆透视）
• 做三维重建、视觉定位、测距
• 保证多相机系统的空间一致性