📚 课程目录第2章相机标定原理

相机标定原理：张正友标定法、内参矩阵与外参矩阵、畸变系数

相机标定，说白了就是给相机做一次「视力检查」。你得知道它的镜头到底是怎么看世界的，才能把拍歪的画面给掰正。我刚开始做图像处理那会儿，总觉得标定是个可有可无的步骤——直到有一次，我把一个没标定过的相机直接拿去测距，结果偏差大到离谱。嗯，从那以后，我再也不敢跳过这一步了。

为什么需要相机标定？

相机把三维世界投影到二维图像上，这个过程会丢失深度信息，还会引入各种变形。你想想看，一个正方形的棋盘格，拍出来可能变成梯形、桶形，甚至边缘还带点波浪。标定的目的，就是找到从「真实世界坐标」到「像素坐标」的映射关系，然后反过来把变形纠正回去。

核心目标：建立世界坐标系 → 相机坐标系 → 图像坐标系 → 像素坐标系的完整映射链。

张正友标定法：为什么它成了行业标准？

张正友在1998年提出的这个方法，彻底改变了相机标定的玩法。在此之前，标定需要高精度的三维标定块，又贵又麻烦。张正友的方法只需要一个打印的棋盘格，拍几张不同角度的照片就行。

它的核心思路是这样的：

打印棋盘格——知道每个角点的物理坐标（假设Z=0）
从不同角度拍摄——至少3张，我建议拍10-20张
检测角点——找到每张图中棋盘格角点的像素坐标
求解单应性矩阵——每张图都有一个从物理平面到像素平面的映射
分解内参和外参——利用多个单应性矩阵的约束，解出相机内参
优化畸变系数——用非线性最小二乘法精调

我的经验：拍棋盘格时，一定要让棋盘覆盖画面的各个区域——四角、中心、边缘都要有。我曾经只拍了中心区域，结果边缘畸变校正得一塌糊涂。另外，棋盘格不要放得太远，占画面1/3到2/3比较合适。

内参矩阵：相机的「基因」

内参矩阵描述了相机内部的几何特性。它只跟相机本身有关，跟你拍什么、怎么拍没关系。一旦标定好，只要不换镜头、不变焦距，内参就是固定的。

内参矩阵 K 的数学形式：

K = [fx  0  cx]
    [ 0  fy  cy]
    [ 0   0   1]

参数	含义	典型值（以1080p相机为例）
fx, fy	焦距（以像素为单位）	约 1000-2000
cx, cy	主点坐标（光轴与成像平面的交点）	约 (960, 540)

这里有个容易混淆的点：fx 和 fy 不是物理焦距 f，而是 f 除以像素尺寸。所以即使同一个镜头，换不同分辨率的传感器，fx 和 fy 也会变。

外参矩阵：相机在空间中的「位置和姿态」

外参矩阵描述的是相机相对于世界坐标系的旋转和平移。每次移动相机，外参都会变。它由两部分组成：

旋转矩阵 R（3×3）——描述相机的朝向
平移向量 t（3×1）——描述相机的位置

外参矩阵的齐次形式：

[R | t] = [r11 r12 r13 | tx]
         [r21 r22 r23 | ty]
         [r31 r32 r33 | tz]

注意：外参矩阵中的 R 是正交矩阵，它的逆等于它的转置。如果你标定出来的 R 不满足这个性质，说明标定结果有问题。我曾经遇到过因为棋盘格检测角点顺序错乱，导致 R 矩阵完全不对的情况——检查了三天才发现是角点排序的 bug。

畸变系数：镜头的光学「缺陷」

没有镜头是完美的。畸变主要分两类：

畸变类型	表现	数学模型
径向畸变	直线变弯，越靠近边缘越明显	k1, k2, k3（泰勒展开系数）
切向畸变	镜头与成像平面不平行导致的偏移	p1, p2

径向畸变又分两种：

桶形畸变——画面中间向外鼓，常见于广角镜头
枕形畸变——画面边缘向内凹，常见于长焦镜头

畸变校正的数学公式（以径向畸变为例）：

x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

其中 r 是像素点到主点的距离。你看，离中心越远，r 越大，畸变就越明显。

避坑指南：我曾经在标定一个鱼眼镜头时，只用了 k1 和 k2 两个参数，结果边缘校正效果很差。后来加上 k3，效果立竿见影。对于普通镜头，k1 和 k2 就够了；对于广角或鱼眼，一定要用 k3。另外，切向畸变 p1、p2 通常很小，如果标定结果里 p1、p2 特别大，说明你的镜头安装可能有问题。

完整标定流程：从拍到用

我一般按这个步骤走：

准备棋盘格——打印一张 9×6 或 10×7 的棋盘格，贴在硬纸板上
拍摄照片——从不同角度拍 15-20 张，确保棋盘格出现在画面的各个位置
检测角点——用 OpenCV 的 findChessboardCorners 函数
亚像素精化——用 cornerSubPix 提高角点精度
执行标定——调用 calibrateCamera 函数
评估结果——检查重投影误差，一般小于 0.5 像素就算合格
保存参数——把内参矩阵和畸变系数存成文件

下面是一个简单的标定代码片段：

import cv2
import numpy as np

# 准备棋盘格角点的物理坐标
pattern_size = (9, 6)  # 内角点数量
objp = np.zeros((pattern_size[0]*pattern_size[1], 3), np.float32)
objp[:,:2] = np.mgrid[0:pattern_size[0], 0:pattern_size[1]].T.reshape(-1,2)

# 存储所有图片的角点
objpoints = []  # 物理坐标
imgpoints = []  # 像素坐标

# 遍历图片，检测角点
for fname in image_files:
    img = cv2.imread(fname)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)
    if ret:
        objpoints.append(objp)
        corners2 = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11,11), (-1,-1), 
                                     criteria)
        imgpoints.append(corners2)

# 执行标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)

print("内参矩阵:\n", mtx)
print("畸变系数:\n", dist)

知识结构总览

下面这张图把整个标定体系串起来了：

标定结果怎么评估？

标定完了，怎么知道结果好不好？我最常用的指标是重投影误差：

用标定得到的参数，把物理坐标投影回像素坐标
计算投影坐标和实际检测到的角点坐标之间的欧氏距离
对所有角点取平均

一般来说，重投影误差小于 0.5 像素就算不错。如果超过 1 个像素，我建议检查一下：

棋盘格是不是贴得不平？
照片是不是拍糊了？
角点检测是不是有误匹配？

一个常见的坑：标定用的棋盘格尺寸必须精确测量。我见过有人直接用「打印出来的尺寸」当物理坐标，结果打印机缩放导致实际尺寸偏差了 2%。这个误差会直接传递到焦距和畸变系数里，最终影响校正精度。用游标卡尺量一下实际格子边长，花不了两分钟。

小结

相机标定是整个畸变校正系统的基石。张正友标定法用棋盘格和几张照片，就能解出内参、外参和畸变系数。内参矩阵描述相机本身的几何特性，外参矩阵描述相机在空间中的位姿，畸变系数则负责纠正镜头的光学缺陷。这三者配合，才能把一张歪歪扭扭的照片还原成它本该有的样子。