3. 刚体变换与位姿表示
做手眼标定，说白了就是在处理一个核心问题：怎么描述一个物体在空间里又转又挪。
我刚开始接触3D视觉时，觉得这东西就是数学公式堆砌。直到第一次在现场调标定，机器人死活抓不准工件，我才意识到——位姿表示选错了，后面全白干。
这一章，咱们就把刚体变换的几种“语言”彻底捋清楚。你会在HALCON里反复跟它们打交道。
3.1 刚体变换：空间里的“刚”道理
什么叫刚体？就是不会变形的物体。你推它、转它，它内部点与点的距离保持不变。
在3D视觉里，我们处理的工件、相机、机器人末端，都视为刚体。刚体变换只有两种运动：旋转和平移。
核心公式：
P' = R · P + t
其中 P 是原始点坐标，R 是旋转矩阵，t 是平移向量，P' 是变换后的点。
我在项目里见过有人把旋转和平移分开算，结果坐标系一多就乱套。记住：旋转是核心，平移是补充。
3.2 旋转矩阵：最直观，但最啰嗦
旋转矩阵是一个 3×3 的正交矩阵，行列式为 +1。它描述了三个坐标轴分别怎么转。
| 属性 | 说明 |
|---|---|
| 维度 | 3×3 |
| 自由度 | 3（9个元素，6个约束条件） |
| 正交性 | RTR = I |
| 行列式 | det(R) = +1 |
举个例子，绕Z轴转30°的旋转矩阵长这样：
R_z(30°) =
[ cos30° -sin30° 0 ]
[ sin30° cos30° 0 ]
[ 0 0 1 ]我的习惯：在HALCON里，我几乎不用手写旋转矩阵。直接用 hom_mat3d_rotate 生成，省心又不出错。
3.3 平移向量：简单，但别搞反方向
平移向量就是一个 3×1 的列向量，表示沿X、Y、Z轴分别移动多少。
t = [tx, ty, tz]^T这里有个坑：平移的方向取决于你从哪个坐标系看。我曾经在标定时把相机到机器人的平移方向搞反了，结果机器人差点撞到夹具。嗯，从那以后我每次都会画个坐标系草图再填数值。
3.4 齐次变换矩阵：把旋转和平移打包
旋转矩阵和平移向量分开写，在连续变换时很麻烦。齐次变换矩阵把它们合二为一：
T = [ R t ]
[ 0 1 ]这是一个 4×4 的矩阵。用齐次坐标表示点 P = [x, y, z, 1]^T，变换就变成了矩阵乘法：
P' = T · P这样做的好处是：多次变换可以连乘。比如从相机到机器人，中间经过工具坐标系：
T_cam_to_robot = T_tool_to_robot · T_cam_to_toolHALCON实战：在HALCON里，齐次变换矩阵用 hom_mat3d 类型表示。创建方式：
create_pose(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'Rp+T', 'gba', 'point', Pose)
hom_mat3d_identity(HomMat3D)
hom_mat3d_translate(HomMat3D, tx, ty, tz, HomMat3D)
hom_mat3d_rotate(HomMat3D, angle, 'x', 0, 0, 0, HomMat3D)3.5 欧拉角：直观，但有万向锁
欧拉角用三个角度表示旋转：绕X轴（滚转）、绕Y轴（俯仰）、绕Z轴（偏航）。
| 表示方式 | 旋转顺序 | 常见场景 |
|---|---|---|
| ZYX | 先绕Z，再绕Y，最后绕X | 机器人末端姿态 |
| ZYZ | 先绕Z，再绕Y，再绕Z | HALCON默认方式 |
| XYZ | 先绕X，再绕Y，再绕Z | 相机姿态 |
避坑指南：我曾经在标定脚本里用了ZYX欧拉角，但HALCON默认是ZYZ。结果算出来的位姿全错。后来我统一用 pose_to_hom_mat3d 转换，再也不纠结顺序了。
欧拉角最大的问题是万向锁：当第二个旋转角为±90°时，第一个和第三个旋转轴重合，丢失一个自由度。你想想看，如果机器人正在抓取一个垂直放置的工件，突然姿态跳变——那画面太美我不敢看。
3.6 四元数：无奇点，但难直观
四元数用四个数表示旋转：q = [w, x, y, z]，其中 w 是实部，x、y、z 是虚部。
它的好处：
- 无万向锁：任何姿态都能平滑表示
- 插值平滑：做轨迹规划时不会出现姿态突变
- 计算高效：比旋转矩阵少乘法
但缺点也很明显：不直观。你看到 [0.707, 0, 0.707, 0] 能想象出它代表绕Y轴转90°吗？反正我不能。
我的建议：在HALCON里，我习惯用齐次变换矩阵做计算，用欧拉角做调试显示，用四元数做轨迹插值。各取所长。
3.7 知识体系总览
下面这张图帮你理清这几种表示方法的关系：
3.8 在HALCON里怎么选？
我总结了一套自己的选择逻辑：
- 做标定计算：用齐次变换矩阵。HALCON的
hom_mat3d系列函数很完善。 - 看结果、调参数：用欧拉角。HALCON的
pose类型默认是ZYZ欧拉角。 - 做轨迹规划、插值：用四元数。HALCON有
quat_to_hom_mat3d等转换函数。 - 写文档、跟客户沟通：用旋转矩阵。虽然啰嗦，但每个元素都有明确几何意义。
核心转换函数速查：
| 功能 | HALCON函数 |
|---|---|
| 位姿 → 齐次变换矩阵 | pose_to_hom_mat3d |
| 齐次变换矩阵 → 位姿 | hom_mat3d_to_pose |
| 四元数 → 齐次变换矩阵 | quat_to_hom_mat3d |
| 齐次变换矩阵 → 四元数 | hom_mat3d_to_quat |
嗯，这一章的内容就到这里。记住：没有最好的表示方法，只有最适合当前场景的。你在项目里遇到位姿相关的坑，多半是表示方法没选对，或者转换时搞混了顺序。