4. 相机标定原理

相机标定是连接二维图像与三维空间的第一步，也是机器人手眼标定的前置基础。本章聚焦于最经典的张正友标定法，从标定板设计、数学模型到畸变校正，建立完整的标定理论框架。

4.1 张正友标定法核心原理

张正友标定法（Zhang’s Method）于1998年提出，核心思想是：通过拍摄多张不同姿态的平面棋盘格图像，利用单应性矩阵约束，线性求解相机内参初值，再通过非线性优化得到精确结果。该方法不需要高精度的3D标定物，仅需一个打印的棋盘格，极大降低了标定门槛。

4.1.1 数学模型与求解流程

标定过程可分解为以下关键步骤：

1. 提取角点：在每张图像中检测棋盘格内角点，获得亚像素精度的像素坐标。
2. 计算单应性矩阵：对每张图像，建立世界坐标系（Z=0平面）到像素坐标系的单应性矩阵 H。
3. 求解内参初值：利用旋转矩阵的正交约束，从多张图像的 H 矩阵中线性解出内参矩阵 K。
4. 求解外参初值：根据内参和 H 矩阵，计算每张图像的旋转矩阵 R 和平移向量 t。
5. 非线性优化：以重投影误差最小化为目标，使用Levenberg-Marquardt算法对所有参数（内参、畸变系数、外参）进行全局优化。

min Σ || p_ij - p̂(K, k1, k2, p1, p2, R_i, t_i, P_j) ||²

4.1.2 张正友标定法流程

下图展示了从图像采集到参数输出的完整标定流程：

4.2 棋盘格标定板设计

棋盘格标定板是张正友标定法的核心工具，其设计质量直接影响标定精度。设计时需关注以下关键参数：

4.3 畸变模型：径向畸变与切向畸变

实际镜头并非理想的小孔成像模型，光线通过透镜时会产生畸变。畸变主要分为两类：径向畸变（由透镜形状引起）和切向畸变（由透镜与成像平面不平行引起）。

4.3.1 径向畸变（Radial Distortion）

径向畸变是影响最大的畸变类型，表现为图像点沿径向方向向内或向外偏移。根据偏移方向分为：

• 桶形畸变（Barrel Distortion）：图像点向中心收缩，常见于广角镜头。
• 枕形畸变（Pincushion Distortion）：图像点向外扩张，常见于长焦镜头。

径向畸变的数学模型使用泰勒级数展开，通常取前两项或三项：

x_corrected = x * (1 + k1 * r² + k2 * r⁴ + k3 * r⁶)
y_corrected = y * (1 + k1 * r² + k2 * r⁴ + k3 * r⁶)

其中 (x, y) 为归一化平面上的畸变坐标，r² = x² + y²，k1、k2、k3 为径向畸变系数。对于普通镜头，k1 和 k2 已足够；对于鱼眼镜头或高畸变镜头，需要引入 k3。

4.3.2 切向畸变（Tangential Distortion）

切向畸变由镜头组装时透镜与成像平面不平行导致，表现为图像点沿切线方向偏移。其数学模型为：

x_corrected = x + [2 * p1 * x * y + p2 * (r² + 2 * x²)]
y_corrected = y + [p1 * (r² + 2 * y²) + 2 * p2 * x * y]

其中 p1、p2 为切向畸变系数。切向畸变通常远小于径向畸变，但在高精度标定中不可忽略。

4.3.3 畸变模型对比

4.3.4 畸变校正流程

完整的畸变校正过程分为两步：

1. 标定阶段：通过张正友标定法求解畸变系数 k1, k2, k3, p1, p2。
2. 校正阶段：对每个像素，根据畸变模型计算其对应的理想坐标，然后通过插值（如双线性插值）得到校正后的像素值。

4.4 标定结果验证

标定完成后，必须验证标定结果的准确性。常用验证方法包括：

• 重投影误差：所有角点的平均重投影误差应小于 0.5 像素，优秀标定可达 0.1 像素以下。
• 畸变校正可视化：将棋盘格图像进行畸变校正，观察棋盘格直线是否恢复为直线。
• 三维重建验证：使用标定结果对已知尺寸的物体进行三维测量，验证测量精度。

下表总结了标定质量的常见判断标准：