3. 相机成像模型

相机成像模型是3D视觉定位的数学基础。它将三维世界中的点映射到二维图像平面，同时描述了镜头畸变带来的非线性偏移。理解针孔模型、畸变模型以及内参/外参矩阵，是后续进行手眼标定与空间定位的前提。

3.1 针孔相机模型

针孔相机模型是理想化的线性成像模型。它假设光线通过一个无限小的孔（光心）在成像平面上形成倒立的实像。为简化计算，通常将成像平面对称到光心前方，形成虚拟成像平面，使图像保持正立。

核心几何关系基于相似三角形：

• 世界点 \( P(X, Y, Z) \) 通过光心投影到像点 \( p(x, y) \)。
• 焦距 \( f \) 是光心到成像平面的距离。
• 投影关系：\( x = f \frac{X}{Z} \)，\( y = f \frac{Y}{Z} \)。

3.2 畸变模型

实际镜头因制造工艺限制，会引入径向畸变和切向畸变。畸变使实际像点偏离针孔模型预测的位置，必须通过标定获得畸变系数并进行校正。

3.2.1 径向畸变

径向畸变由镜头形状引起，光线在镜头边缘弯曲程度更大。分为两种：

• 桶形畸变：图像边缘向外膨胀，常见于广角镜头。
• 枕形畸变：图像边缘向内收缩，常见于长焦镜头。

数学模型（使用泰勒级数展开）：

x_corrected = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
y_corrected = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
其中 r² = x² + y²，k1, k2, k3 为径向畸变系数

3.2.2 切向畸变

切向畸变由镜头与成像平面不平行（装配误差）引起。数学模型：

x_corrected = x + [2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)]
y_corrected = y + [p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y]
其中 p1, p2 为切向畸变系数

3.3 内参矩阵

内参矩阵描述了相机坐标系到像素坐标系的转换关系，包含焦距、主点坐标和像素尺寸等参数。矩阵形式为：

     [ fx   0   cx ]
K =  [ 0    fy  cy ]
     [ 0    0    1 ]

内参矩阵将相机坐标系下的点 \( P_c(X_c, Y_c, Z_c) \) 投影到像素坐标 \( (u, v) \)：

u = fx * (X_c / Z_c) + cx
v = fy * (Y_c / Z_c) + cy

3.4 外参矩阵

外参矩阵描述了世界坐标系到相机坐标系的刚体变换关系，由旋转矩阵 \( R \) 和平移向量 \( t \) 组成：

     [ R   t ]
M =  [ 0   1 ]    (4×4 齐次矩阵)

其中：

• R：3×3 旋转矩阵，表示世界坐标系相对于相机坐标系的旋转。
• t：3×1 平移向量，表示世界坐标系原点在相机坐标系中的位置。

世界点 \( P_w \) 到相机坐标系 \( P_c \) 的转换：

P_c = R * P_w + t

3.5 完整成像流程

从世界点到像素坐标的完整映射分为三步：

1. 世界 → 相机：使用外参矩阵 \( [R|t] \) 将世界点变换到相机坐标系。
2. 相机 → 归一化平面：除以Z坐标，得到归一化坐标 \( (X_c/Z_c, Y_c/Z_c, 1) \)。
3. 归一化 → 像素：使用内参矩阵 \( K \) 投影到像素坐标，并应用畸变校正。