2. 坐标系基础

在3D视觉定位与手眼标定中，坐标系是描述空间点位置的数学基础。从真实世界的三维点，到相机感光芯片上的二维像点，再到最终的数字图像像素，需要经过四个坐标系的四次变换。理解这些坐标系及其转换关系，是掌握相机模型、标定与定位算法的前提。

2.1 四大坐标系定义

2.2 坐标系转换链路

一个世界坐标系中的三维点 P_w，最终成为像素坐标系中的二维点 p_uv，需要经历以下三步变换：

1. 刚体变换：世界坐标系 → 相机坐标系（旋转 + 平移）
2. 投影变换：相机坐标系 → 图像坐标系（透视投影）
3. 仿射变换：图像坐标系 → 像素坐标系（缩放 + 平移）

Pc = R * Pw + t          (刚体变换)
x = f * Xc / Zc          (投影变换)
y = f * Yc / Zc
u = x / dx + u0          (仿射变换)
v = y / dy + v0

2.3 刚体变换：世界坐标系 → 相机坐标系

刚体变换描述了两个三维直角坐标系之间的旋转与平移，不改变物体的形状和大小。旋转矩阵 R（3×3 正交矩阵）和平移向量 t（3×1）共同构成相机的外参矩阵：

| Xc |   | r11 r12 r13 | | Xw |   | tx |
| Yc | = | r21 r22 r23 | | Yw | + | ty |
| Zc |   | r31 r32 r33 | | Zw |   | tz |

齐次坐标形式（便于矩阵连乘）：

| Xc |   | r11 r12 r13 tx | | Xw |
| Yc | = | r21 r22 r23 ty | | Yw |
| Zc |   | r31 r32 r33 tz | | Zw |
| 1  |   | 0   0   0   1  | | 1  |

2.4 投影变换：相机坐标系 → 图像坐标系

投影变换基于针孔相机模型，将三维点 P_c(Xc, Yc, Zc) 投影到成像平面上。根据相似三角形原理：

x = f * Xc / Zc
y = f * Yc / Zc

其中 f 为相机焦距（单位：mm）。齐次矩阵形式：

| x |   | f  0  0  0 | | Xc |
| y | = | 0  f  0  0 | | Yc |
| 1 |   | 0  0  1  0 | | Zc |
                      | 1  |

这一变换将三维信息压缩为二维，丢失了深度 Zc，因此单目相机无法直接从单帧图像恢复三维坐标。

2.5 仿射变换：图像坐标系 → 像素坐标系

图像坐标系 (x, y) 到像素坐标系 (u, v) 的变换包含缩放和平移：

u = x / dx + u0
v = y / dy + v0

其中：

• dx, dy：单个像素在 x 和 y 方向的物理尺寸（mm/pixel）
• (u0, v0)：主点在像素坐标系中的坐标（通常接近图像中心）

齐次矩阵形式：

| u |   | 1/dx  0    u0 | | x |
| v | = | 0     1/dy v0 | | y |
| 1 |   | 0     0    1  | | 1 |

2.6 完整变换链与内参矩阵

将上述三步合并，得到从世界坐标到像素坐标的完整投影方程：

| u |   | fx  0   u0  0 | | R   t | | Xw |
| v | = | 0   fy  v0  0 | | 0   1 | | Yw |
| 1 |   | 0   0   1   0 |         | Zw |
                                  | 1  |

其中：

• 内参矩阵 K：包含 fx = f/dx, fy = f/dy, u0, v0，由相机内部结构决定
• 外参矩阵 [R | t]：描述世界坐标系到相机坐标系的刚体变换

2.7 坐标系转换关系总览

2.8 齐次坐标与矩阵连乘

使用齐次坐标可以将上述所有变换统一为矩阵乘法形式，便于计算和优化：

| u |   | fx  0   u0  0 |   | r11 r12 r13 tx |   | Xw |
| v | = | 0   fy  v0  0 | · | r21 r22 r23 ty | · | Yw |
| 1 |   | 0   0   1   0 |   | r31 r32 r33 tz |   | Zw |
                            | 0   0   0   1  |   | 1  |

简写为：

p_uv = K · [R | t] · Pw

2.9 坐标系转换中的常见问题