3. 内参矩阵
相机内参，说白了就是相机自己“心里那本账”。它记录了镜头和传感器之间最核心的映射关系。我刚开始接触视觉时，总觉得内参就是个3x3的矩阵，套公式算就完了。直到有一次在现场，标定完发现测量偏差总是差几个像素，排查了半天——原来是内参里的主点位置偏了半个像素，导致整个坐标系都歪了。
嗯，从那以后我养成了一个习惯：拿到任何相机的内参，先看主点坐标是不是在图像正中心附近，再看焦距值跟镜头标称值差多少。这两个数，能告诉你很多故事。
3.1 内参矩阵的数学形式
内参矩阵，通常记作 K。它是一个3x3的上三角矩阵：
K = [ fx 0 cx ]
[ 0 fy cy ]
[ 0 0 1 ]这里面每个参数都有明确的物理含义：
- fx, fy：分别是x和y方向上的焦距（单位：像素）
- cx, cy：主点坐标（单位：像素），也就是光轴与成像平面的交点
你可能会问：为什么焦距会有两个值？按理说镜头只有一个焦距啊。
其实，fx = f / dx，fy = f / dy。这里的f是镜头物理焦距（毫米），dx和dy是单个像素在x和y方向的物理尺寸（毫米/像素）。如果像素是正方形的，那fx就等于fy。但工业相机里，像素不一定是正方的，所以两个值会有差异。
关键点：内参矩阵把三维空间中的点（在相机坐标系下）投影到二维图像平面上。它描述的是“从相机坐标到像素坐标”的映射关系。
3.2 焦距参数详解
焦距参数 fx 和 fy 决定了成像的缩放比例。值越大，视野越窄，物体在图像上显得越大；值越小，视野越宽，物体显得越小。
我在项目中遇到过一台8mm镜头的工业相机，标定出来的fx大约是2800像素。当时甲方工程师问我：“为什么焦距不是8mm？”我解释了半天——这个2800是等效像素焦距，不是物理焦距。物理焦距8mm除以像素尺寸2.8μm，刚好就是2857像素左右。对上了。
| 参数 | 物理含义 | 典型值范围（工业相机） |
|---|---|---|
| fx | x方向等效焦距（像素） | 1000 ~ 5000 |
| fy | y方向等效焦距（像素） | 1000 ~ 5000 |
| fx/fy | 像素纵横比 | 0.99 ~ 1.01（近正方形） |
经验技巧：标定得到的fx和fy如果相差超过1%，先检查一下标定板是不是贴歪了，或者图像采集时有没有发生拉伸。我见过不少案例，最后发现是采集卡设置把图像宽高比改了。
3.3 主点参数详解
主点 (cx, cy) 是光轴与成像平面的交点。理想情况下，它应该在图像的正中心。比如一张1920x1080的图像，主点应该是(960, 540)。
但现实没那么完美。镜头安装时会有微小的偏心，传感器也不是居中。所以实际标定出来的主点，往往偏离中心几个像素到几十个像素。
我记得有一次做高精度测量项目，要求重复精度0.02mm。标定出来的主点偏离中心12个像素，我当时没在意。结果测量结果总是有系统偏差，后来把主点手动修正到中心附近，精度立刻上来了。嗯，从那以后我对主点格外敏感。
注意：主点偏差过大（超过图像尺寸的5%），通常意味着镜头安装有问题，或者相机传感器有物理偏移。这时候不要强行用标定去“补偿”，先检查机械结构。
3.4 畸变参数详解
畸变，说白了就是镜头让图像“变形”了。主要有两类：
- 径向畸变：光线通过镜头边缘时弯曲程度不同，导致直线变弯。分为桶形畸变和枕形畸变。
- 切向畸变：镜头和传感器不平行，导致图像倾斜。
畸变模型通常用多项式来描述：
径向畸变：k1, k2, k3
切向畸变：p1, p2畸变矫正的数学过程是这样的：
// 假设归一化坐标 (x, y)
r² = x² + y²
// 径向畸变
x_distorted = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
y_distorted = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
// 切向畸变
x_distorted += 2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)
y_distorted += p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y你想想看，这个公式其实就是在说：离图像中心越远的点，畸变越严重。所以标定时，标定板一定要覆盖整个视野，尤其是四个角。
| 畸变参数 | 典型范围 | 说明 |
|---|---|---|
| k1 | -0.5 ~ 0.5 | 主要径向畸变系数 |
| k2 | -0.3 ~ 0.3 | 次要径向畸变系数 |
| k3 | -0.1 ~ 0.1 | 高阶径向畸变（鱼眼镜头常用） |
| p1, p2 | -0.05 ~ 0.05 | 切向畸变系数 |
避坑指南：我曾经遇到一个案例，标定出来的k1只有-0.02，但图像边缘畸变很明显。后来发现是标定板只拍了中心区域，没有覆盖边缘。畸变参数在边缘区域才“激活”，所以标定板一定要拍满整个视野。
3.5 内参矩阵与畸变参数的关系
内参矩阵和畸变参数是“搭档”。内参矩阵负责“理想投影”，畸变参数负责“修正现实”。
完整的映射流程是这样的：
- 三维空间点 → 相机坐标系（外参负责）
- 相机坐标系 → 归一化平面（除以Z）
- 归一化坐标 → 畸变矫正（用k1,k2,k3,p1,p2修正）
- 畸变后坐标 → 像素坐标（内参矩阵K）
说白了，畸变参数是在归一化平面上做修正，然后才用内参矩阵投影到像素坐标。这个顺序不能乱。
3.6 实际工程中的注意事项
讲到这里，我想分享几个实际工程中的经验：
- 内参不是一成不变的：变焦镜头、自动对焦镜头，焦距变了内参就得重新标。定焦镜头也要定期复标，尤其是温度变化大的环境。
- 畸变参数不是越大越好：有些标定算法会把畸变参数调得很大来“拟合”噪声。我见过k1标到-0.8的，图像边缘都扭成麻花了。这时候要怀疑标定数据质量。
- 主点偏移有物理意义：如果主点偏移超过50个像素，先检查镜头接口是不是松动，或者传感器有没有移位。别急着用软件补偿。
重要提醒：内参矩阵和畸变参数是“配套”的。换镜头、换相机、甚至重新拧紧镜头，都要重新标定。不要偷懒用之前的数据，我吃过这个亏。
好了，内参矩阵这部分就讲到这里。记住一句话：内参是相机的“身份证”，畸变是镜头的“脾气”。搞清楚了这两样，标定就成功了一半。