📚 课程目录第3章相机内参矩阵

3. 相机内参矩阵

聊完了针孔模型，咱们得把那个虚拟的成像平面，映射到真实的传感器上。说白了，就是要把物理世界里的毫米，换算成图像里的像素。

这个换算关系，就藏在内参矩阵 K 里。我当年刚接触标定时，觉得这东西就是一堆公式，后来调了半年相机才发现，理解 K 矩阵的每个参数，比背公式重要得多。

先想一个问题：相机传感器上每个像素，对应物理世界的多大范围？

这取决于两个东西：

举个例子。假设焦距 f = 12 mm，像素尺寸 dx = 0.005 mm/pixel。那么，焦距在像素单位下就是：

f_x = f / dx = 12 / 0.005 = 2400 pixel

嗯，这里要注意：f_x 和 f_y 通常不相等。为什么？因为像素不一定是正方形。很多 CMOS 传感器的像素是矩形的，dx 和 dy 不一样。

我的经验：工业相机里，dx 和 dy 差异通常在 1% 以内。但手机摄像头为了降低成本，有时会用矩形像素，导致 f_x 和 f_y 差几十个像素。标定时如果发现这个差异超过 5%，建议检查一下传感器规格书。

理想情况下，光轴应该穿过图像的正中心。但现实嘛……

由于镜头安装误差、传感器封装偏移，光轴实际穿过的点——我们叫它主点 (cx, cy)——往往不在正中心。我遇到过一台相机，主点偏了 30 多个像素，如果不校正，测距误差直接飙到 5%。

主点的单位也是像素。比如一个 1920×1080 的图像，理想主点是 (960, 540)。实际标定出来可能是 (955, 538)。

避坑指南：我曾经用一张标定板只拍了中心区域，结果主点标定结果漂移了 20 像素。后来我要求标定板必须覆盖图像四个角，主点才稳定下来。记住：主点对畸变校正极其敏感，标定图片一定要覆盖全视场。

好了，把上面这些参数拼起来，就得到了内参矩阵 K：

K = [ f_x   0   c_x ]
    [ 0    f_y  c_y ]
    [ 0     0    1  ]

这个 3×3 矩阵，把相机坐标系下的点 (X, Y, Z) 映射到像素坐标 (u, v)：

s * [u]   =   K * [X]
    [v]           [Y]
    [1]           [Z]

其中 s 是尺度因子（其实就是 Z 值）。展开写就是：

u = f_x * (X/Z) + c_x
v = f_y * (Y/Z) + c_y

说白了，就是先把 3D 点投影到归一化平面 (X/Z, Y/Z)，再用焦距缩放，最后加上主点偏移。

  核心理解：K 矩阵只与相机内部结构有关，与相机在世界中的位置无关。所以叫“内参”。你换个三脚架位置，K 不变；但你拧一下镜头变焦环，K 就变了。

参数	符号	单位	典型值（举例）	影响因素
焦距（x方向）	f_x	像素	2400	镜头焦距、像素尺寸
焦距（y方向）	f_y	像素	2405	像素矩形比
主点（x方向）	c_x	像素	960	传感器安装偏移
主点（y方向）	c_y	像素	540	传感器安装偏移
倾斜因子	s	—	0	传感器歪斜（现代相机≈0）

表格里有个“倾斜因子 s”，老式相机或扫描仪会有，现代 CMOS 基本可以忽略。标定时如果发现 s 很大，先检查标定板图片是不是拍歪了。

下面这张图，把 K 矩阵的来龙去脉串起来了：

我习惯在标定完成后，先看一眼 K 矩阵的这几个值：

一个小技巧：用 OpenCV 标定后，打印出 K 矩阵，用肉眼扫一眼。如果 f_x 和 f_y 差了几百甚至上千，先别急着用——回去检查标定板的角点检测有没有出错。我踩过这个坑，浪费了两天时间。

好了，K 矩阵就聊到这儿。记住：它是相机内部物理属性的数学浓缩。理解了它，后面的畸变模型和标定流程才能真的吃透。