4. 坐标系标定与手眼关系

在3D视觉在线测量系统中，测量结果最终要落到运动平台能够执行的位置上。相机看到的是图像或点云，运动平台执行的是电机脉冲或编码器坐标，而工件本身又有自己的设计基准。如果这三套坐标没有统一到同一个参照下，即使点云重建精度达到0.02 mm，联动测量仍可能产生毫米级偏差。因此，坐标系定义与手眼标定是联动测量的“基准工程”。

三套坐标系的定义与物理含义

相机坐标系以相机光心为原点，Z轴沿光轴指向被测区域，X、Y轴与图像行列方向对应。对于结构光或双目相机，通常以左相机光心或双目中点作为原点。相机坐标系是点云生成的天然参照，其单位是毫米，但原点位置由镜头安装决定，不具备直接的运动语义。

运动平台坐标系以平台机械原点为基准，各轴以编码器计数或毫米为单位。例如三轴平台可定义X轴向右、Y轴向前、Z轴向上，原点位于行程左下角或机械限位处。平台坐标系描述的是“执行器在哪里”，它决定了相机或工件的可达位置。

工件坐标系由工件设计基准确定，例如以工件左下角孔心为原点，或以上表面中心为原点。工件坐标系是测量任务的最终参照，所有尺寸、位置度、平面度都相对它评价。工件在平台上的装夹位置会改变工件坐标系与平台坐标系的关系，因此每次换型都需要重新建立这一关系。

手眼标定的本质：求解相机与平台的固定变换

手眼标定要解决的核心问题是：相机坐标系与运动平台坐标系之间的固定变换 ^P T_C 是多少。根据相机安装方式不同，分为“眼在手外”（eye-to-hand）和“眼在手上”（eye-in-hand）。眼在手外时，相机固定在支架上，平台带动工件运动，标定求解的是相机与平台基座之间的固定关系；眼在手上时，相机随平台末端运动，标定求解的是相机与末端法兰之间的固定关系，同时还要结合平台运动学才能得到相机与基座的关系。

无论哪种形式，标定都依赖同一个约束：平台运动前后，标定板或标定球在相机中的观测位置与平台编码器读数之间必须满足刚体变换一致性。以眼在手外为例，设平台从位姿1运动到位姿2，编码器给出平台位移 ^P T_{P1} 和 ^P T_{P2}，相机同时观测到标定板在相机坐标系中的位姿 ^C T_{B1} 和 ^C T_{B2}。由于标定板随平台一起运动，标定板在平台坐标系中的位姿 ^P T_B 保持不变，于是有：

^P T_{P1} · ^P T_B = ^P T_C · ^C T_{B1}
^P T_{P2} · ^P T_B = ^P T_C · ^C T_{B2}

消去 ^P T_B：
(^P T_{P2})⁻¹ · ^P T_{P1} · ^P T_B = (^P T_C · ^C T_{B2})⁻¹ · ^P T_C · ^C T_{B1}

整理后得到 AX = XB 形式，其中 X = ^P T_C 为待求量。

实际标定中，通常采集10～20组不同平台位姿下的标定板图像，用张正友法或点云配准法求出每组 ^C T_B，再通过Tsai-Lenz、Park或Dual Quaternion方法求解 ^P T_C。判断标定是否可信，主要看重投影误差或点云配准残差：若残差均方根小于0.05 mm，且旋转部分正交性误差小于1e-4，可认为标定合格。

联动测量中的坐标统一方法

标定完成后，坐标统一并不是简单地把点云乘一个矩阵，而是要根据测量任务选择正确的变换链。常见的有两条路径：

路径一：相机→平台→工件。先用手眼矩阵 ^P T_C 把相机点云变换到平台坐标系，再用装夹标定得到的 ^W T_P 变换到工件坐标系。这条路径适合“平台不动、相机扫描”或“相机固定、平台带动工件”的场景。装夹标定通常用工件上的三个基准孔或三个基准面来求 ^W T_P：在平台坐标系中测量这三个特征，再与工件CAD中对应特征做最小二乘配准。

路径二：相机→工件直接配准。当工件在平台上的位置由夹具保证、重复性很高时，可以直接用工件CAD与相机点云做配准，得到 ^W T_C，再反推 ^W T_P = ^W T_C · (^P T_C)⁻¹。这条路径省去了单独装夹标定，但对夹具重复性和点云完整度要求更高。

无论哪条路径，最终都要把测量结果统一到工件坐标系下评价。例如测量一个孔的位置度：相机采集孔口点云，经 ^P T_C 和 ^W T_P 变换到工件坐标系，拟合孔轴线，计算轴线与理论位置的偏差。若偏差为0.08 mm，而图纸公差为0.10 mm，则判定合格；若偏差为0.13 mm，则超差。此时需要检查是标定残差偏大、装夹松动，还是平台反向间隙导致，而不是直接调整测量程序。

标定质量检查与联动验证

标定完成后，建议做一次联动验证：在平台上放置一个已知尺寸的标准球或标准块，控制平台运动到三个不同位置，每个位置采集一次点云，分别变换到工件坐标系后测量同一特征。若三次测量结果的极差小于0.03 mm，说明坐标统一链稳定；若极差超过0.05 mm，应优先检查平台重复定位精度和标定板固定是否松动。

此外，手眼矩阵的旋转部分应满足正交性，平移部分应与实际安装距离量级一致。例如相机光心到平台原点的距离若实际约为450 mm，而标定结果给出1200 mm，则说明标定数据中存在错误对应或标定板位姿求解失败，需要重新采集。

坐标系统一不是一次性的工作，而是随温度、振动、换型而变化的动态基准。把三套坐标系的定义、手眼矩阵的求解逻辑和两条统一路径理清，才能在联动测量中快速定位偏差来源，而不是在图像、点云和电机坐标之间反复试错。