4. 成像模型与几何量映射

在机器视觉尺寸计量中，相机输出的原始数据是像素坐标，而工程上真正关心的是毫米、微米等物理量。把像素坐标稳定、可溯源、可复现地换算成物理尺寸，依赖三个层次的知识：成像几何模型（针孔模型）、镜头畸变模型，以及成像方式带来的尺度特性差异（透视与远心）。本节围绕这三层展开，并给出像素到物理尺寸映射关系的建立方法与适用条件。

一、针孔模型：像素坐标与三维点的几何桥梁

针孔模型（Pinhole Model）是最基础的成像几何描述。它假设光线通过一个理想小孔，在像平面上形成倒立实像。为便于计算，工程上通常把像平面等效到光心前方，得到正立的等效像平面，从而避免负号带来的混乱。本节统一采用“相机坐标系 Z 轴指向被测物、X 向右、Y 向下”的约定，与常见 OpenCV 相机坐标系一致。

设空间中一点在相机坐标系下为 (X, Y, Z)，其投影到归一化像平面的坐标为 (x, y) = (X/Z, Y/Z)。再经相机内参矩阵 K 映射到像素坐标 (u, v)：

u = fx * (X/Z) + cx
v = fy * (Y/Z) + cy

K = [ fx   0   cx
       0   fy  cy
       0    0    1 ]

其中 fx、fy 是以像素为单位的等效焦距，cx、cy 是主点像素坐标。fx = f / dx，f 为物理焦距，dx 为单个像元在水平方向的物理尺寸。内参矩阵描述的是“相机内部如何把光线角度变成像素位置”，与外参（相机相对世界坐标系的旋转平移）共同构成完整的投影关系。

针孔模型的关键含义是：像素坐标与物理尺寸之间不是固定比例，而是随物距 Z 变化的比例关系。在垂直于光轴的平面上，横向放大率 m = f / Z（物理量），换算到像素尺度即每毫米对应 fx / Z 个像素。物距变化 1%，尺度就变化约 1%。这正是透视成像在尺寸计量中必须谨慎使用的原因。

二、畸变模型：径向与切向修正

真实镜头不满足理想针孔假设，成像点会偏离理论位置，形成畸变。尺寸计量中最主要的是径向畸变，表现为桶形（负）或枕形（正）变形，越靠近图像边缘越明显。常用 Brown-Conrady 模型描述：

归一化坐标 (x, y)，r² = x² + y²
径向：x_d = x(1 + k1·r² + k2·r⁴ + k3·r⁶)
      y_d = y(1 + k1·r² + k2·r⁴ + k3·r⁶)
切向：x_d += 2·p1·x·y + p2·(r² + 2x²)
      y_d += p1·(r² + 2y²) + 2·p2·x·y

k1、k2、k3 为径向畸变系数，p1、p2 为切向畸变系数。标定时通常先固定 k3 = 0，用多姿态棋盘格图像求解。畸变修正的方向是“从畸变像素反算理想像素”，即用畸变模型迭代求逆，或直接用标定得到的映射表查表插值。

对尺寸计量的实际影响可以量化：若某镜头 k1 = -0.15，在归一化半径 r = 0.8 处，径向缩放因子为 1 + (-0.15)(0.64) = 0.904，即该处像素尺度比中心小约 9.6%。如果被测特征跨越图像中心到边缘，不修正畸变就会引入接近 10% 的尺寸误差，远超精密计量允许范围。因此畸变修正不是可选项，而是尺寸测量的前置条件。

三、透视与远心成像的尺度差异

普通镜头属于透视成像，存在“近大远小”。当被测物存在高度差 ΔZ 时，同一物理尺寸在图像上的像素长度会变化。设物距 Z，高度变化 ΔZ，则尺度相对变化约为 ΔZ / Z。例如 Z = 300 mm、ΔZ = 3 mm，尺度变化约 1%，对 10 mm 特征就是约 0.1 mm 误差。

远心镜头通过孔径光阑与物方远心设计，使主光线平行于光轴，从而在一定的景深范围内放大率基本不随物距变化。其标称放大率 β 固定，像素当量 E = dx / β（mm/pixel），与物距无关。代价是视场受限、景深有限、成本较高，且对安装倾斜更敏感。

选择依据可以归纳为：被测特征有高度差、需要绝对尺寸、精度要求优于 0.5% 时，优先远心；被测物近似平面、允许相对测量、视场大且成本敏感时，可用透视加畸变修正与物距标定。

四、像素坐标到物理尺寸的映射关系建立

映射关系的建立分三步：标定内参与畸变、确定尺度因子、建立像素到物理量的换算。

第一步，标定内参与畸变。使用已知格距的棋盘格或圆点靶标，采集 15～25 张不同姿态图像，覆盖视场中心和边缘。用张正友标定法求解 K、k1、k2、p1、p2。判断标定质量看重投影误差，一般要求均方根误差小于 0.2 像素；若边缘误差明显大于中心，说明畸变模型阶数不足或靶标姿态覆盖不够。

第二步，确定尺度因子。对透视成像，在测量平面上放置已知长度 L 的标准件（如量块、标准玻璃线纹尺），测得其像素长度 N，则像素当量 E = L / N（mm/pixel）。注意必须在与实际测量相同的物距和平面高度下标定，否则尺度失效。对远心成像，E = dx / β，也可用标准件直接标定，两者应一致，偏差超过 0.2% 需检查放大率标称值或像元尺寸。

第三步，建立换算与修正链。完整流程为：畸变像素 → 畸变修正 → 理想像素 → 乘像素当量 → 物理尺寸。若被测特征不在标定平面，透视成像还需按 ΔZ 做尺度补偿：E' = E · (1 + ΔZ / Z)。远心成像在景深内无需此补偿。

五、误差来源与判断依据

像素到物理尺寸的映射误差主要来自四方面：畸变残差、尺度标定误差、物距或高度变化、以及边缘提取误差。畸变残差可通过标定重投影误差评估；尺度标定误差取决于标准件精度和像素测量重复性；物距变化在透视成像中按 ΔZ/Z 估算；边缘提取误差通常为 0.1～0.3 像素，换算成物理量后与像素当量成正比。

实际判断时，可用同一标准件在视场中心与边缘、不同高度分别测量，比较测量值的极差。若极差超过允许误差，优先排查畸变修正和尺度标定条件是否与测量条件一致。对高精度任务，建议把标准件复测作为日常核查手段，记录像素当量和残差随时间的漂移，形成可追溯的计量记录。

综上，针孔模型给出几何框架，畸变模型保证像素位置准确，远心与透视的选择决定尺度是否随物距变化，而像素当量的标定条件必须与测量条件一致。四者共同构成像素坐标到物理尺寸映射的完整链条，任何一环的条件不满足，都会直接反映为尺寸测量误差。