4. 转动惯量基础与折算方法

伺服选型中，惯量匹配之所以难，不在于公式本身，而在于“折算”这一步。电机轴上的等效负载惯量，往往不是某个零件的惯量，而是丝杠、齿轮、皮带、联轴器、工件等多个部件按运动关系折算后的总和。理解折算，本质上是理解“能量守恒”或“动能等效”：把整个传动链上所有运动部件的动能，都换算成电机轴上的等效转动惯量。

一、刚体转动惯量的基本公式

对于绕固定轴旋转的刚体，转动惯量定义为各质元质量与其到转轴距离平方的乘积之和：

J = Σ mᵢ · rᵢ²   （离散形式）
J = ∫ r² dm      （连续形式）

工程上常用的几种规则形状，其绕质心轴的转动惯量可直接查表：

形状	转轴	转动惯量 J
实心圆柱（丝杠、轴）	中心轴	½ m R²
空心圆柱（套筒、带轮）	中心轴	½ m (R₁² + R₂²)
长方体（工作台）	过质心垂直轴	m (a² + b²) / 12
质点（小滑块）	距轴 r	m r²

注意：表中公式均以质心轴为基准。若转轴不在质心，需用平行轴定理 J = J_c + m d²，其中 d 为两轴间距。丝杠、齿轮等零件通常绕自身中心轴旋转，可直接用质心公式。

二、折算的核心思想：动能等效

设电机轴角速度为 ω_m，负载某部件角速度为 ω_L 或线速度为 v。折算的原则是：该部件在真实运动中的动能，等于一个等效惯量 J_eq 以电机角速度旋转时的动能。

½ J_L ω_L² = ½ J_eq ω_m²
⇒ J_eq = J_L · (ω_L / ω_m)²

对于直线运动部件：

½ m v² = ½ J_eq ω_m²
⇒ J_eq = m · (v / ω_m)²

可见，折算系数就是速度比的平方。速度比越大，折算惯量按平方放大；速度比越小，折算惯量按平方缩小。这是所有折算公式的统一来源。

三、典型传动机构的折算公式

1. 丝杠传动（最常见）

设丝杠导程为 P_h（mm/r），工作台及工件总质量为 m（kg），丝杠自身转动惯量为 J_s。电机与丝杠直连时 i = 1：

J_s = ½ · m_s · R²        （实心丝杠，R 为半径）
J_工作台 = m · (P_h / 2π)²  （P_h 单位 m）
J_eq = J_s + J_工作台

示例：丝杠直径 32 mm、长 1000 mm、钢密度 7850 kg/m³，则 m_s ≈ 6.3 kg，J_s ≈ ½ × 6.3 × 0.016² ≈ 8.1×10⁻⁴ kg·m²。工作台质量 100 kg、导程 10 mm，则 J_工作台 = 100 × (0.01/2π)² ≈ 2.5×10⁻⁴ kg·m²。两者相加约 1.06×10⁻³ kg·m²。若电机转子惯量 J_m = 2×10⁻⁴ kg·m²，惯量比约为 5.3，属于可接受范围。

2. 齿轮传动

设减速比 i = ω_m/ω_L（电机快、负载慢，i > 1）。主动轮惯量 J₁ 与电机同速，直接相加；从动轮及后续负载惯量 J₂ 需除以 i²：

J_eq = J₁ + J₂ / i²

若为多级齿轮，每级从动侧惯量依次除以该级速比的平方，逐级向前折算。

3. 皮带传动

主动轮半径 r₁、从动轮半径 r₂，速比 i = r₂/r₁。主动轮惯量直接加，从动轮与负载惯量除以 i²。皮带本身质量较小，通常可忽略，或按 m_belt · r₁² 近似折算到主动轮。

4. 联轴器

联轴器与电机同轴同速，其转动惯量 J_c 直接相加，无需折算。选型时若联轴器惯量远大于电机转子惯量，会显著恶化惯量比，应优先选用轻量化膜片或波纹管联轴器。

四、折算时的常见误区

• 忘记平方：速度比折算时，惯量按速度比的平方变化，不是线性。i = 10 时，负载惯量折算后缩小 100 倍。
• 单位不统一：导程 P_h 用 mm 代入公式会得到错误结果，必须换算为 m；半径 R 同理。
• 漏掉丝杠自身惯量：长丝杠的惯量往往与工作台折算惯量同量级，不能忽略。
• 把减速比方向搞反：先明确 i = ω_m/ω_L，再决定除以 i² 还是乘以 i²。若定义相反，公式随之改变。
• 忽略效率与摩擦：折算惯量只反映动能关系，不包含摩擦、效率损失；这些在转矩计算中另行考虑。