3. 微价格核心公式推导

在上一节中我们已经看到，最优买价（bid）和最优卖价（ask）只反映了“谁愿意成交”，却没有反映“谁更急”。同样是买一价 100.00、卖一价 100.02，如果买一挂单量是 500 手、卖一挂单量只有 50 手，那么价格向上突破的概率显然远大于向下。微价格（microprice）要做的，就是把这个“盘口不平衡”的信息压缩成一个比中间价更灵敏的单一价格估计。

本节我们从最朴素的买卖压力不平衡出发，一步步推导出微价格公式，并解释权重到底在表达什么、它如何影响价格预测。

一、从中间价到压力加权：推导的起点

先约定符号。设最优买价为 P_b，最优卖价为 P_a，买一挂单量为 Q_b，卖一挂单量为 Q_a。中间价定义为：

P_mid = (P_a + P_b) / 2

中间价的问题在于它完全忽略了量。为了引入量，我们考虑一个直观的“压力”视角：买一量代表买方在当前价位的承接意愿，卖一量代表卖方的抛售意愿。若把总挂单量 Q_b + Q_a 视为 1，则买方占比为：

w_b = Q_b / (Q_b + Q_a)
w_a = Q_a / (Q_b + Q_a) = 1 - w_b

一个自然的想法是：既然买方占比越大，价格越应该靠近卖一价（因为买方要成交只能向上吃卖单），那么可以用 w_b 作为“向卖价靠拢”的权重，构造：

P_micro = w_b · P_a + w_a · P_b

这就是微价格最常用的形式。注意它的方向：买方量越大，微价格越靠近卖一价，即价格估计越高。这与“买压大→价格上行”的直觉一致。

二、等价变形：把公式写成“中间价 + 偏移”

直接看加权形式不够直观，我们做一次代数变形。令 Δ = P_a - P_b（价差），Q = Q_b + Q_a，则：

P_micro = (Q_b·P_a + Q_a·P_b) / Q
        = P_mid + (Q_b - Q_a)/(2Q) · Δ

推导过程：把 P_a = P_mid + Δ/2、P_b = P_mid - Δ/2 代入加权式，整理即得。这个变形非常关键，它告诉我们：

• 微价格 = 中间价 + 一个偏移项；
• 偏移项 = 不平衡度 × 半个价差；
• 不平衡度定义为 I = (Q_b - Q_a)/(Q_b + Q_a)，取值范围 [-1, 1]。

当 Q_b = Q_a 时 I = 0，微价格退化为中间价；当买一量远大于卖一量时 I → 1，微价格逼近卖一价；反之逼近买一价。偏移的最大幅度就是半个价差，因此微价格始终落在 [P_b, P_a] 区间内，不会越界，这一点在工程实现中很重要。

三、权重到底在表达什么

回到加权形式 P_micro = w_b·P_a + w_a·P_b。这里的 w_b 不是“买方成交概率”的严格估计，而是一个相对压力权重：它衡量在买一与卖一这两个价位上，哪一方的挂单更“厚”。权重越大，微价格越靠近对手方价格，意味着模型认为该方向更可能被吃掉。

需要强调三点含义：

1. 权重是相对的，不是绝对的。 Q_b = 500、Q_a = 50 与 Q_b = 5000、Q_a = 500 得到相同的 w_b ≈ 0.909，微价格相同。这说明微价格只关心比例，不关心绝对深度。若想区分“薄盘口”和“厚盘口”，需要额外引入总量特征。
2. 价差 Δ 是偏移的放大器。 同样的不平衡度，价差越大，偏移的绝对金额越大。在 tick 较大的品种上，微价格的绝对波动会更明显。
3. 微价格是有界估计。 由于 I ∈ [-1,1]，微价格永远落在买一卖一之间，不会给出“高于卖一”的荒谬预测，这使它在做市报价、短期方向判断中比线性外推更稳健。

四、用示例走一遍完整计算

沿用图中参数：P_b = 100.00，P_a = 100.02，Q_b = 500，Q_a = 50。这是一个合理假设的教学示例，非实测行情。

Q = Q_b + Q_a = 550
w_b = 500 / 550 ≈ 0.9091
w_a = 50 / 550  ≈ 0.0909

P_micro = 0.9091 × 100.02 + 0.0909 × 100.00
        ≈ 100.0182

校验（偏移形式）：
P_mid = 100.01
I = (500 − 50) / 550 ≈ 0.8182
Δ = 0.02
偏移 = I × Δ / 2 ≈ 0.8182 × 0.01 ≈ 0.0082
P_micro ≈ 100.01 + 0.0082 = 100.0182  ✓

两种算法结果一致，说明变形正确。可以看到，微价格比中间价高出约 0.0082，接近卖一价一侧，这与“买盘明显更厚、价格更可能上行”的判断吻合。

五、权重如何影响价格预测

微价格本身是一个价格估计，但在预测中通常使用它的变化量或相对中间价的偏离作为信号。设当前微价格为 P_micro(t)，上一时刻为 P_micro(t-1)，则信号可写为：

signal = P_micro(t) − P_mid(t)
       = I(t) · Δ(t) / 2

这个式子揭示了预测逻辑：当不平衡度 I 持续为正且增大时，信号为正，预示短期价格上行压力；当 I 由正转负，往往对应买盘被消耗、卖压增强。实际使用中要注意两点：

• 价差变化会污染信号。 若 I 不变而 Δ 突然扩大（例如盘口变薄），信号也会跳变。稳健做法是同时观察 I 与 Δ，或对信号做归一化处理。
• 权重对极端值敏感。 当 Q_a 很小（如 1 手）时，w_b 会迅速逼近 1，微价格几乎等于卖一价。这种“虚假不平衡”在实盘中常见，通常需要对挂单量做下限截断或平滑。

六、小结与公式的适用边界

本节从买卖压力不平衡出发，得到了微价格的两个等价表达：加权形式 P_micro = w_b·P_a + w_a·P_b 与偏移形式 P_micro = P_mid + I·Δ/2。权重 w_b 表达的是买一相对卖一的挂单厚度，偏移项则由不平衡度与半个价差共同决定。理解这两层含义，才能在后续章节中正确地把微价格用于信号构造、做市报价和回测评估。

同时要清楚它的边界：微价格只使用买一卖一两个价位，无法感知更深层的流动性；它对绝对深度不敏感；在挂单量剧烈抖动时容易产生噪声。这些局限正是后续引入多档盘口、成交量与成交方向等信息进行扩展的动机。