📊 协整理论与检验方法

Engle-Granger两步法 · Johansen检验 · 经济含义

🎯 统计套利核心 —— 协整关系是配对交易与篮子套利的基石。它刻画了非平稳时间序列之间长期稳定的均衡关系，比简单相关性更深刻。

📌 一、协整关系的经济含义 Economic Cointegration

🔹 直观理解： 两个或多个非平稳序列，虽然各自随机游走，但它们的线性组合却平稳。好比“拴在一起的醉汉”，虽然各自摇晃，但彼此距离不会无限偏离。

🔹 经济解释： 市场存在某种均衡机制（如套利力量、价格锚定），当价差偏离均衡时，反向力量会使其回归。例如：

现货与期货 — 基差围绕持有成本波动，长期收敛。
替代股票（如可口可乐&百事可乐） — 受相同基本面驱动，价差均值回复。
利率期限结构 — 不同期限国债收益率存在协整。

⚠️ 注意： 协整 ≠ 相关性！高相关性但无协整的序列，价差可能发散，套利风险极大。

⚙️ 二、Engle-Granger两步法 EG 两步法

适用： 两个单整阶数相同（如 I(1)）的序列，检验是否存在协整。

步骤	操作	关键细节
Step 1 协整回归	用 OLS 估计长期均衡方程： \( y_t = \alpha + \beta x_t + \varepsilon_t \)	得到残差序列 \( \hat{\varepsilon}_t \)；注意不要遗漏截距项。
Step 2 残差平稳性检验	对 \( \hat{\varepsilon}_t \) 进行 ADF 检验（无截距/趋势）	若 ADF 统计量 < 临界值（如 MacKinnon 协整临界值），则拒绝“残差非平稳”原假设，认为协整存在。

📐 代码示例 (Python 风格)

import statsmodels.api as sm
import numpy as np

# 假设 y, x 均为 I(1) 序列
x = sm.add_constant(x)          # 添加截距
model = sm.OLS(y, x).fit()
residuals = model.resid

# ADF 检验 (无常数项)
adf_stat, pvalue, _, crit_values, _ = sm.tsa.stattools.adfuller(residuals, autolag='AIC', regression='n')
print(f'ADF: {adf_stat:.3f}, 1%临界值: {crit_values["1%"]:.3f}')
if adf_stat < crit_values["1%"]:
    print("✅ 拒绝原假设，存在协整关系")
else:
    print("❌ 无法拒绝，无协整")

🧩 三、Johansen检验多变量协整检验

优势： 可检验多个（≥2）时间序列之间的协整关系，并确定协整秩（协整向量个数）。基于VAR模型和特征根。

图1 · Johansen检验架构：基于VAR的似然比检验

📐 Python 实现 (statsmodels)

from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen
import pandas as pd

# data: DataFrame, 每列为一个 I(1) 序列
jres = coint_johansen(data, det_order=0, k_ar_diff=1)
# 迹统计量
print('迹统计量:', jres.lr1)
print('迹临界值(90%,95%,99%):\n', jres.cvt)
# 最大特征值统计量
print('最大特征值统计量:', jres.lr2)
print('对应临界值:\n', jres.cvm)
# 协整向量 (标准化)
print('协整向量 (beta):\n', jres.beta)

📋 四、方法对比一览

特征	Engle-Granger 两步法	Johansen 检验
变量数量	仅限两个变量	两个及以上 (多变量系统)
协整向量	只能估计一个协整关系	可识别所有协整向量 (秩 r)
方法基础	OLS 回归 + ADF 残差检验	VAR 模型 + 特征根似然比
小样本性质	偏差较大，尤其小样本	更稳健，但需要足够样本
假设限制	要求已知哪个变量为被解释变量	对称处理，无内生性假定
使用场景	快速检验配对交易	投资组合/篮子套利，宏观分析

💡 五、协整在统计套利中的应用

配对交易： 利用EG两步法找到协整对，当价差偏离2倍标准差时开仓，回归平仓。
篮子套利： Johansen检验确定多个资产协整向量，构建市场中性组合，进行均值回复交易。
半衰期与均值回复： 协整残差序列的均值回复半衰期 = ln(2)/|λ|，其中λ为残差AR(1)系数。
风险警示： 协整关系可能发生结构性断裂，需滚动检验。

图2 · 协整价差（左）与非协整价差（右）模拟路径

📝 核心总结： 协整是统计套利的灵魂。Engle-Granger两步法简单直观，适合双资产配对；Johansen检验更强大，适合多资产篮子。理解经济含义——均衡与均值回复，是构建稳健策略的前提。