📘 Black-Scholes 定价模型

期权量化策略 · 从零到精通

⚙️ 模型原理 Black-Scholes 核心思想

📐 基本原理

基于无套利假设与伊藤引理，推导出欧式期权价格满足的偏微分方程：

∂V/∂t + ½σ²S² ∂²V/∂S² + rS ∂V/∂S – rV = 0

通过边界条件得到解析解，即 Black-Scholes 公式。

🧩 模型假设

标的资产价格服从几何布朗运动
无交易成本、税收，可连续交易
无风险利率 r 为常数
波动率 σ 为常数
不支付股息（可扩展）
欧式期权，只能在到期日行权
市场无套利机会

📊 输入参数 S, K, T, r, σ

参数	符号	含义	典型影响
标的资产价格	S	当前股票/指数价格	↑ 看涨期权 ↑
行权价格	K	期权约定的买卖价格	↑ 看涨期权 ↓
到期时间	T	剩余期限（年化）	↑ 时间价值 ↑
无风险利率	r	连续复利无风险利率	↑ 看涨期权 ↑
波动率	σ	年化收益率标准差	↑ 期权价值 ↑

⭐ Black-Scholes 输入-模型-输出架构

⚠️ 模型局限性假设与现实的差距

🔻 常数波动率 实际波动率存在微笑/偏斜，σ 并非恒定。

🔻 常数利率 无风险利率随期限变化，收益率曲线倾斜。

🔻 无交易成本 真实市场有手续费、冲击成本、买卖价差。

🔻 连续交易 实际交易离散，且存在流动性限制。

🔻 欧式局限 不适用于美式期权（可提前行权）。

🔻 正态分布假设 资产收益率厚尾、有偏，不符合对数正态。

🔻 无股息/红利 需调整 (如使用股息率 q 的 BS 变体)。

🔻 市场无套利 极端事件下套利限制可能失效。

🧪 Python 实现 Black-Scholes 定价函数

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def black_scholes(S, K, T, r, sigma, option_type='call'):
    """
    S: 标的资产价格
    K: 行权价
    T: 到期时间 (年)
    r: 无风险利率 (连续复利)
    sigma: 波动率
    option_type: 'call' 或 'put'
    """
    d1 = (np.log(S / K) + (r + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    
    if option_type == 'call':
        price = S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    else:  # put
        price = K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)
    return price

# 示例
print(black_scholes(S=100, K=105, T=0.5, r=0.03, sigma=0.2, option_type='call'))
# 输出 ≈ 3.67