📚 课程目录第4章距离方法与配对选择

4. 距离方法与配对选择：最小化距离法、标准化欧氏距离、时间序列的相似性度量、配对筛选的实战技巧

配对交易的核心，说白了就是找两只走势高度相似的股票。但怎么定义「相似」？靠眼睛看K线图？不靠谱。我见过太多新手，看着两段曲线差不多就冲进去，结果价差越走越远，最后亏得莫名其妙。

这一章，我们就来聊聊如何用数学工具量化「相似性」。我会把最小化距离法、标准化欧氏距离、时间序列相似性度量这些概念，结合我实际踩过的坑，掰开揉碎了讲清楚。

核心观点：配对筛选不是找「过去长得像」的股票，而是找「未来价差能回归」的股票。距离度量只是第一步，后续的协整检验和半衰期计算才是真正的试金石。

4.1 最小化距离法：最直观的配对方式

最小化距离法的思路很简单：把两只股票的历史价格序列对齐，计算每个时间点的差值平方和，然后求和。和越小，说明两只股票走得越近。

公式长这样：

D(P, Q) = Σ (Pᵢ - Qᵢ)²

其中 Pᵢ 和 Qᵢ 是两只股票在第 i 天的价格。注意，这里用的是标准化后的价格，不是原始价格。我刚开始做的时候，直接用原始价格算，结果茅台和工商银行的距离永远很大——因为茅台单价高啊。后来才意识到，必须先做标准化处理。

我的习惯：标准化时用 z-score，即 (价格 - 均值) / 标准差。这样所有股票都变成均值为0、标准差为1的序列，可比性大大提升。

具体实现代码：

import numpy as np
import pandas as pd

def min_distance(prices_a, prices_b):
    """
    计算最小化距离
    prices_a, prices_b: 标准化后的价格序列
    """
    # 确保长度一致
    min_len = min(len(prices_a), len(prices_b))
    a = prices_a[-min_len:]
    b = prices_b[-min_len:]
    
    # 计算欧氏距离平方和
    distance = np.sum((a - b) ** 2)
    return distance

# 示例：计算两只股票的标准化距离
def zscore_series(series):
    return (series - series.mean()) / series.std()

# 假设 df 包含多只股票的历史价格
# 对每只股票做 z-score 标准化
df_z = df.apply(zscore_series)

# 计算所有配对的距离
pairs = []
for i in range(len(df_z.columns)):
    for j in range(i+1, len(df_z.columns)):
        dist = min_distance(df_z.iloc[:, i], df_z.iloc[:, j])
        pairs.append((df_z.columns[i], df_z.columns[j], dist))

# 按距离升序排列
pairs_sorted = sorted(pairs, key=lambda x: x[2])
print("距离最小的前5个配对：")
for pair in pairs_sorted[:5]:
    print(f"{pair[0]} - {pair[1]}: {pair[2]:.4f}")

避坑指南：我曾经用60天滚动窗口算距离，结果发现距离最小的配对经常是同一行业的两只股票。但实盘跑下来，很多配对在半衰期还没到就崩了。原因在于：最小化距离法只关注「形状相似」，不关注「价差是否具有均值回复性」。所以它只能作为初筛工具，不能作为最终决策依据。

4.2 标准化欧氏距离：解决量纲问题

标准化欧氏距离，说白了就是给每个维度加上权重。在配对交易里，不同时间点的价格波动率不一样——比如最近一个月的波动可能比一年前大很多。标准化欧氏距离通过除以标准差，让每个时间点的贡献「平等」。

公式：

D_std(P, Q) = Σ ((Pᵢ - Qᵢ) / σᵢ)²

其中 σᵢ 是第 i 个时间点的标准差（通常用滚动窗口估计）。

嗯，这里要注意：标准化欧氏距离和 z-score 标准化是两回事。z-score 是对整个序列做标准化，而标准化欧氏距离是对每个时间点单独做标准化。我个人更推荐先用 z-score 标准化整个序列，再用普通欧氏距离——这样计算简单，效果也不差。

方法	适用场景	优点	缺点
最小化距离法	快速初筛	计算简单，直观	忽略波动率差异
标准化欧氏距离	波动率变化大的市场	考虑时变波动	需要估计σᵢ，参数敏感
z-score + 欧氏距离	通用场景	平衡了简单性和有效性	假设序列平稳

4.3 时间序列的相似性度量：不止是欧氏距离

欧氏距离有个硬伤：它要求两个序列在时间轴上严格对齐。但实际中，两只股票的走势可能「形状相似但相位不同」——比如A股比B股晚两天反应同一个消息。这时候欧氏距离会很大，但DTW（动态时间规整）就能捕捉到这种滞后相关性。

DTW 的核心思想：允许时间轴「拉伸」或「压缩」，找到最优的对齐路径。我曾在做跨市场配对时用过DTW，比如追踪A股和港股的同股同权标的。效果确实比欧氏距离好，但计算量也大得多——O(n²) 的复杂度，对于几千只股票的全市场扫描，基本跑不动。

我的建议：DTW 适合小规模精细分析（比如50只以内的候选池），不适合全市场扫描。全市场初筛还是用欧氏距离，把候选对压缩到100对以内，再用DTW做二次筛选。

除了DTW，还有几种常用的相似性度量：

相关系数：衡量线性相关性，但无法捕捉非线性关系。我见过有人用相关系数>0.9作为筛选条件，结果选出来的全是同行业龙头股——相关性高，但价差根本不回复。
互信息：能捕捉非线性关系，但计算复杂，且对数据量要求高。
余弦相似度：关注方向而非幅度，适合收益率序列的相似性比较。

4.4 配对筛选的实战技巧

理论说完了，来点干货。我总结了一套实战筛选流程，这些年一直在用：

行业初筛：先按行业分类，只在同行业内找配对。跨行业配对不是不行，但逻辑上更难解释，也更容易出现「伪回归」。
流动性过滤：剔除日均成交额低于1亿的股票。流动性差的股票，交易成本高，滑点大，策略很难赚钱。
距离计算：用 z-score 标准化后，计算欧氏距离。保留距离最小的前10%的配对。
协整检验：对初筛后的配对做 Engle-Granger 两步法检验。p值小于0.05才算通过。
半衰期计算：计算价差序列的半衰期。我一般要求半衰期在5-20个交易日之间——太短说明噪音大，太长说明回复太慢，资金效率低。
回测验证：用过去2年的数据做回测，看夏普比率和最大回撤。夏普比率低于1的直接淘汰。

实战经验：我做过一个统计，从全市场4000只股票出发，经过上述6步筛选，最终能进入实盘的配对通常不超过20对。而且这20对里，真正能稳定盈利的，可能只有5-8对。配对交易不是「找到一对就能赚钱」，而是「找到一堆候选，然后动态管理」。

最后说一个我踩过的坑：幸存者偏差。刚开始做回测时，我用的是当前还在交易的股票。结果回测曲线漂亮得不行，实盘却一塌糊涂。后来才发现，那些退市的、被ST的股票，在回测时已经被剔除了——但它们在历史上可能正是最好的配对标的。所以我现在做回测，一定用「历史快照」数据，即回测时间点实际存在的股票池。