2. PSI 数学原理与计算公式

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量两个分布之间差异的标准化度量。在风控建模中，它用于量化模型评分在时间维度上的偏移程度。本章从信息论基础出发，详细推导 PSI 的核心公式，并解释分箱与概率分布在计算中的关键作用。

2.1 从 KL 散度到 PSI 的数学推导

PSI 的数学根源是 Kullback-Leibler 散度（相对熵），它衡量两个概率分布 P 和 Q 之间的不对称差异。对于离散分布，KL 散度定义为：

KL(P || Q) = Σ P(i) * ln( P(i) / Q(i) )

其中 P 为实际分布（Actual），Q 为预期分布（Expected）。KL 散度不满足对称性，即 KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)。PSI 通过引入对称化处理，将两个方向的 KL 散度相加：

PSI = KL(P || Q) + KL(Q || P)
    = Σ P(i) * ln( P(i) / Q(i) ) + Σ Q(i) * ln( Q(i) / P(i) )
    = Σ (P(i) - Q(i)) * ln( P(i) / Q(i) )

最终得到 PSI 的标准计算公式：

其中：

• 实际占比（Actual%）：当前样本（如月度评分）在各分箱中的样本比例。
• 预期占比（Expected%）：基准样本（如建模样本）在各分箱中的样本比例。
• ln：自然对数，用于放大比例差异的非线性效应。

2.2 分箱策略与概率分布映射

PSI 计算的前提是将连续变量（如模型评分）离散化为有限个分箱（Bins）。分箱方式直接影响 PSI 的敏感性和稳定性。

分箱后，每个箱子的实际占比和预期占比共同构成两个离散概率分布。PSI 本质上是在比较这两个分布之间的“距离”。

2.3 PSI 计算的分步流程

以下为 PSI 计算的标准化步骤，适用于模型评分或任何连续变量的稳定性监控：

1. 确定基准分布：选取建模样本或历史稳定期的评分数据作为预期分布。
2. 划分分箱：基于预期分布确定分箱边界（通常 10 箱）。
3. 计算预期占比：统计每个分箱在预期样本中的比例（Expected%）。
4. 映射实际分布：将当前样本按相同分箱边界划分，计算实际占比（Actual%）。
5. 计算单箱贡献：对每个分箱计算 (Actual% - Expected%) × ln(Actual% / Expected%)。
6. 求和得到 PSI：将所有分箱的贡献值相加。

2.4 PSI 计算示例（10 等频分箱）

下表展示了一个 10 等频分箱的 PSI 计算过程。预期分布为建模样本，实际分布为 3 个月后的评分数据。

该示例中 PSI = 0.0328，对应行业通用阈值：PSI < 0.1 表示分布稳定，0.1-0.25 需关注，> 0.25 表示显著漂移。

2.5 PSI 的分布偏移可视化

下图展示了预期分布与实际分布在 10 个分箱中的占比对比，直观反映漂移方向与幅度。

2.6 PSI 与信息论的关系

PSI 与信息论中的交叉熵和 KL 散度存在直接关联。下表总结了三个度量的核心差异：

PSI 的对称性使其成为监控模型稳定性的首选指标——它同时惩罚“实际分布相对于预期分布”的左右两侧偏移，避免单方向偏差被掩盖。

2.7 PSI 计算代码实现（Python）

以下代码展示了 PSI 的完整计算过程，包含分箱、平滑处理和结果输出：

import numpy as np
import pandas as pd

def calculate_psi(expected, actual, bins=10, smooth=0.0001):
    """
    计算群体稳定性指标 (PSI)
    
    参数:
        expected: array-like, 预期分布（建模样本评分）
        actual: array-like, 实际分布（当前样本评分）
        bins: int, 分箱数量（默认10）
        smooth: float, 平滑值，防止ln(0)
    
    返回:
        psi: float, PSI值
        bin_df: DataFrame, 各分箱明细
    """
    # 基于预期分布确定分箱边界
    percentiles = np.linspace(0, 100, bins + 1)
    bin_edges = np.percentile(expected, percentiles)
    bin_edges[0] = -np.inf
    bin_edges[-1] = np.inf
    
    # 分箱并计算占比
    expected_bins = np.digitize(expected, bin_edges[1:-1])
    actual_bins = np.digitize(actual, bin_edges[1:-1])
    
    expected_counts = np.bincount(expected_bins, minlength=bins+1)[1:bins+1]
    actual_counts = np.bincount(actual_bins, minlength=bins+1)[1:bins+1]
    
    expected_pct = expected_counts / len(expected)
    actual_pct = actual_counts / len(actual)
    
    # 平滑处理
    expected_pct = np.clip(expected_pct, smooth, 1 - smooth)
    actual_pct = np.clip(actual_pct, smooth, 1 - smooth)
    
    # 计算PSI
    psi = np.sum((actual_pct - expected_pct) * np.log(actual_pct / expected_pct))
    
    # 构建明细表
    bin_df = pd.DataFrame({
        'bin': range(1, bins+1),
        'expected_pct': expected_pct,
        'actual_pct': actual_pct,
        'contribution': (actual_pct - expected_pct) * np.log(actual_pct / expected_pct)
    })
    
    return psi, bin_df

# 示例用法
np.random.seed(42)
expected_scores = np.random.normal(600, 100, 10000)
actual_scores = np.random.normal(620, 110, 10000)

psi_value, psi_details = calculate_psi(expected_scores, actual_scores)
print(f"PSI = {psi_value:.4f}")
print(psi_details.head())

2.8 PSI 的阈值判定标准

行业通用的 PSI 阈值体系如下，用于判断模型是否需要重新训练或校准：

2.9 PSI 与压力测试的关联基础

PSI 不仅是稳定性监控指标，更是压力测试中识别异常漂移的核心工具。在后续章节中，我们将基于 PSI 的计算结果，进一步分析：

• 单变量 PSI 分解：定位导致整体 PSI 上升的关键分箱和特征。
• 时间序列 PSI 趋势：监控 PSI 随时间的变化斜率，预警加速漂移。
• 压力场景 PSI 模拟：在极端经济情景下，计算 PSI 的预期变化范围。