2. PSI 数学原理：从 KL 散度到分箱策略

PSI（Population Stability Index，群体稳定性指标）的核心是量化两个概率分布之间的差异程度。在模型监控中，这两个分布分别是期望分布（Expected Distribution）和实际分布（Actual Distribution）。本节从信息论中的 KL 散度出发，推导 PSI 的数学公式，并深入分析分箱策略对计算结果的影响。

2.1 从 KL 散度到 PSI 公式推导

KL 散度（Kullback-Leibler Divergence）衡量两个概率分布 P 和 Q 之间的不对称差异。对于离散分布，其定义为：

KL(P || Q) = Σ P(i) * log( P(i) / Q(i) )

KL 散度具有非对称性：KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)。PSI 通过取两个方向 KL 散度的对称和来消除这种不对称性：

PSI = KL(P || Q) + KL(Q || P)
    = Σ P(i) * log( P(i) / Q(i) ) + Σ Q(i) * log( Q(i) / P(i) )
    = Σ [ P(i) - Q(i) ] * log( P(i) / Q(i) )

在实际应用中，P 代表实际分布（Actual），Q 代表期望分布（Expected）。因此 PSI 的最终计算公式为：

PSI = Σ (Actual_i - Expected_i) * ln( Actual_i / Expected_i )

其中 i 表示第 i 个分箱（bin），Actual_i 和 Expected_i 分别为该箱内的样本占比。

2.2 期望分布与实际分布的定义

两个分布均需经过分箱处理，将连续分数转换为离散的箱占比。每个箱的占比 = 该箱样本数 / 总样本数。

2.3 分箱策略对 PSI 的影响

分箱（Binning）是将连续变量划分为若干离散区间（箱）的过程。分箱策略直接决定 PSI 计算的敏感度和稳定性。以下是三种主流分箱策略的对比：

2.4 分箱策略选择流程图

下图展示了分箱策略选择的决策流程，帮助你在实际项目中快速确定合适的分箱方法：

2.5 分箱数量对 PSI 的影响

除了分箱策略，分箱数量也是影响 PSI 结果的关键参数。下表总结了不同分箱数量的影响：

2.6 分箱边界固定原则

无论选择哪种分箱策略，都必须遵守以下固定边界原则：

1. 基于期望分布确定箱边界：使用训练集或验证集的分数分布计算分箱边界。
2. 固定边界用于所有后续监控：所有实际分布必须映射到相同的箱边界上。
3. 处理空箱：如果某个箱在实际分布中样本数为 0，通常将该箱占比设为极小值（如 0.0001）以避免除零错误。
4. 记录边界元数据：在模型监控配置中保存箱边界、分箱策略、分箱数量等元数据，确保可复现。