2. PSI指标基础：群体稳定性指标(PSI)的数学定义、计算公式推导、PSI的统计学意义

2.1 群体稳定性指标(PSI)的数学定义

群体稳定性指标（Population Stability Index，PSI）是衡量两个样本分布之间差异程度的统计量。在反洗钱风控模型中，PSI 用于监测模型评分或特征分布在时间维度上的变化，从而判断模型是否发生“漂移”。

PSI 的核心思想是：将连续变量分箱后，比较每个箱中实际占比与预期占比的差异，并对差异进行加权求和。其数学本质是 信息论中的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）的对称化形式。

2.2 计算公式推导

PSI 的计算分为三个步骤：分箱、计算占比、计算 PSI 值。

步骤一：分箱（Binning）

将连续变量（如模型评分、特征值）划分为 k 个等宽或等频的区间（箱）。通常建议分箱数量在 10~20 之间，以保证统计稳定性。

步骤二：计算每个箱的占比

• 预期占比（Expected Proportion, E_i）：模型开发时（基准期）落在第 i 个箱中的样本数占总样本数的比例。
• 实际占比（Actual Proportion, A_i）：模型监测时（观察期）落在第 i 个箱中的样本数占总样本数的比例。

步骤三：计算 PSI 值

PSI 的完整计算公式如下：

PSI = Σ [(Aᵢ - Eᵢ) × ln(Aᵢ / Eᵢ)]   (i = 1, 2, ..., k)

其中：

• Aᵢ：第 i 个箱的实际占比
• Eᵢ：第 i 个箱的预期占比
• ln(Aᵢ / Eᵢ)：实际占比与预期占比比值的自然对数
• k：分箱总数

特殊情况处理

当某个箱的预期占比 Eᵢ = 0 时，公式中的 ln(Aᵢ / 0) 无定义。实际应用中，通常采用以下两种处理方式：

• 平滑处理：对每个箱的计数加 0.5 或 1（Laplace 平滑），避免零值。
• 合并箱：将预期占比为 0 的箱与相邻箱合并，直到所有箱的预期占比 > 0。

2.3 PSI 的统计学意义

PSI 的统计学意义可以从以下三个维度理解：

2.4 PSI 计算示例

假设某反洗钱模型的评分范围为 0~100，分 5 个等宽箱。基准期和观察期的样本分布如下：

计算得到 PSI = 0.0470 < 0.1，说明该模型评分分布在观察期未发生显著漂移，模型稳定性良好。

2.5 PSI 与 KL 散度的关系

PSI 与 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）密切相关。KL 散度定义为：

KL(P || Q) = Σ Pᵢ × ln(Pᵢ / Qᵢ)

其中 P 为实际分布，Q 为预期分布。PSI 实际上是两个 KL 散度的对称和：

PSI = KL(A || E) + KL(E || A)
     = Σ Aᵢ × ln(Aᵢ / Eᵢ) + Σ Eᵢ × ln(Eᵢ / Aᵢ)
     = Σ (Aᵢ - Eᵢ) × ln(Aᵢ / Eᵢ)

这种对称化处理使得 PSI 具有以下优点：

• 非负性：PSI ≥ 0，当且仅当两个分布完全相同时 PSI = 0。
• 对称性：PSI(P, Q) = PSI(Q, P)，即交换实际分布和预期分布，PSI 值不变。
• 有界性：虽然理论上 PSI 无上界，但在实际业务中通常不会超过 1.0。

2.6 PSI 计算流程示意图

下图展示了 PSI 计算的完整流程，从原始数据输入到最终漂移判断：

2.7 PSI 的优缺点总结