3. PSI 数学原理：实际分布 vs 期望分布与分箱逻辑

PSI（Population Stability Index，群体稳定性指标）是贷后预警中衡量变量分布偏移的核心量化工具。其数学本质是：比较同一变量在“期望分布”（如建模样本）与“实际分布”（如监控样本）之间的差异程度。PSI 值越大，说明分布偏移越严重，预警等级越高。

3.1 PSI 计算公式详解

PSI 的计算基于信息论中的 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）对称化处理，公式如下：

PSI = Σ [ (实际占比_i - 期望占比_i) * ln(实际占比_i / 期望占比_i) ]

其中：
- i = 第 i 个分箱（bin），共 n 个分箱
- 实际占比_i = 第 i 箱中实际样本数 / 总实际样本数
- 期望占比_i = 第 i 箱中期样本数 / 总期望样本数
- ln = 自然对数

计算步骤分解：

1. 分箱：将变量值域划分为 n 个区间（通常 5~10 箱）。
2. 计算占比：分别统计期望分布和实际分布在各箱中的样本占比。
3. 计算差异项：对每个分箱计算 (实际占比 - 期望占比) * ln(实际占比 / 期望占比)。
4. 求和：将所有分箱的差异项相加，得到最终 PSI 值。

3.2 分箱逻辑：等距 vs 等频 vs 自定义

分箱是 PSI 计算的前置步骤，分箱方式直接影响 PSI 值的敏感度和稳定性。三种主流分箱逻辑对比如下：

3.3 PSI 计算示例（手工推演）

假设某信用评分变量“近 3 月查询次数”在建模样本（期望分布）和监控样本（实际分布）中的分布如下（等频分箱，5 箱）：

本例中 PSI = 0.0033，远低于 0.1 的预警阈值，说明该变量分布稳定，无需触发尖峰告警。

3.4 PSI 计算流程 SVG 图

3.5 PSI 阈值与告警等级

在贷后预警实践中，PSI 值通常按以下标准划分告警等级：

3.6 PSI 与 KL 散度的关系

PSI 本质上是 KL 散度的对称化版本。KL 散度衡量的是从期望分布到实际分布的信息损失，但 KL 散度是非对称的（即 KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)）。PSI 通过将两个分布分别作为期望和实际，取两者之和的一半，实现了对称化：

PSI = KL(实际 || 期望) + KL(期望 || 实际)

其中：
KL(实际 || 期望) = Σ 实际占比_i * ln(实际占比_i / 期望占比_i)
KL(期望 || 实际) = Σ 期望占比_i * ln(期望占比_i / 实际占比_i)

这种对称化使得 PSI 在业务解释上更加直观：无论分布向哪个方向偏移，PSI 都能一致地反映偏移程度。

3.7 分箱数量对 PSI 的影响

分箱数量 n 是 PSI 计算的重要参数。不同分箱数量对 PSI 值的影响如下：