3. PSI基础原理：群体稳定性指标的定义、计算公式、分箱逻辑与数学推导

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是风控模型监控中最核心的量化指标，用于衡量模型评分或特征分布在两个时间窗口（通常为建模样本与当前样本）之间的偏移程度。PSI 值越小，说明群体分布越稳定；PSI 值越大，说明模型或特征发生了显著漂移。

3.1 PSI 的定义与业务含义

PSI 本质上是一种基于信息论中 Kullback-Leibler 散度（KL 散度）的对称化变体，用于比较两个概率分布之间的差异。在风控场景中，PSI 通常用来回答以下问题：

• 模型评分分布：当前月与建模月相比，评分分布是否发生了系统性偏移？
• 特征分布：某个关键特征（如收入、负债率）的分布是否发生了结构性变化？
• 客群结构：进件客群是否与建模客群存在显著差异？

3.2 PSI 计算公式与数学推导

PSI 的计算基于分箱后的实际占比与预期占比。假设我们将评分或特征值划分为 n 个区间（分箱），则 PSI 的通用计算公式为：

PSI = Σ (Actual_i - Expected_i) × ln(Actual_i / Expected_i)

其中：
- Actual_i   = 当前样本在第 i 个分箱中的占比（实际分布）
- Expected_i = 建模样本在第 i 个分箱中的占比（预期分布）
- ln         = 自然对数
- i          = 1, 2, ..., n（分箱编号）

数学推导说明：

• PSI 的数学基础是 KL 散度：KL(P||Q) = Σ P_i × ln(P_i / Q_i)，其中 P 为实际分布，Q 为预期分布。
• KL 散度是非对称的，即 KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)。PSI 通过同时计算 KL(P||Q) + KL(Q||P) 实现对称化，因此 PSI 也被称为 对称化 KL 散度。
• 当 Actual_i 与 Expected_i 完全相等时，ln(1) = 0，PSI = 0，表示分布完全一致。
• 当分布差异越大，ln(Actual_i / Expected_i) 的绝对值越大，PSI 值越高。

3.3 分箱逻辑：等距分箱 vs 等频分箱

PSI 的计算依赖于分箱策略。不同的分箱方式会直接影响 PSI 的数值和敏感性。风控实践中主要使用以下两种分箱方法：

3.4 PSI 计算的分步流程

以下为 PSI 计算的标准操作步骤，适用于评分或特征监控：

1. 确定基准分布：选取建模样本或历史稳定期的评分/特征值作为预期分布（Expected）。
2. 确定当前分布：选取当前监控周期的样本作为实际分布（Actual）。
3. 选择分箱方式：根据业务场景选择等距分箱或等频分箱，通常建议分箱数量为 10-20 个。
4. 计算各箱占比：分别统计预期分布和实际分布在每个分箱中的样本占比。
5. 计算每个分箱的贡献值：(Actual_i - Expected_i) × ln(Actual_i / Expected_i)。
6. 求和得到 PSI：将所有分箱的贡献值相加，得到最终的 PSI 值。
7. 阈值判断：根据 PSI 值判断分布稳定性，触发相应动作。

3.5 PSI 计算示例（等距分箱）

假设某评分卡模型输出范围为 300-900 分，建模样本与当前样本各 1000 条，按等距分箱（每 100 分一箱）计算 PSI：

本例中 PSI = 0.0437 < 0.1，说明当前样本分布与建模样本分布基本一致，模型稳定性良好。

3.6 PSI 与 KL 散度的关系

为了更直观地理解 PSI 的数学本质，以下对比 PSI 与 KL 散度的异同：

从数学上可以证明：PSI = KL(P||Q) + KL(Q||P)，即 PSI 是 KL 散度的对称化版本。这使得 PSI 在衡量分布差异时更加均衡，不会因为基准分布的选择而偏向某一方向。

3.7 PSI 计算流程示意图

以下 SVG 图展示了从原始数据到 PSI 输出的完整计算流程：

3.8 PSI 分箱策略对比示意图

以下 SVG 图直观对比等距分箱与等频分箱在相同数据分布下的差异：

3.9 PSI 计算的代码实现（Python）

以下为 PSI 计算的 Python 实现，包含等距分箱与等频分箱两种方式：

import numpy as np
import pandas as pd

def calculate_psi(expected, actual, bins=10, method='equal_width'):
    """
    计算群体稳定性指标 (PSI)
    
    参数:
        expected: array-like, 建模样本（预期分布）
        actual: array-like, 当前样本（实际分布）
        bins: int, 分箱数量
        method: str, 'equal_width' 或 'equal_frequency'
    
    返回:
        psi: float, PSI 值
        bin_df: DataFrame, 各分箱明细
    """
    # 合并数据确定分箱边界
    all_data = np.concatenate([expected, actual])
    
    if method == 'equal_width':
        # 等距分箱
        bin_edges = np.linspace(np.min(all_data), np.max(all_data), bins + 1)
    elif method == 'equal_frequency':
        # 等频分箱（基于预期分布的分位数）
        bin_edges = np.percentile(expected, np.linspace(0, 100, bins + 1))
        # 确保边界唯一
        bin_edges = np.unique(bin_edges)
    else:
        raise ValueError("method 必须为 'equal_width' 或 'equal_frequency'")
    
    # 计算各箱占比
    expected_counts, _ = np.histogram(expected, bins=bin_edges)
    actual_counts, _ = np.histogram(actual, bins=bin_edges)
    
    expected_pct = expected_counts / len(expected)
    actual_pct = actual_counts / len(actual)
    
    # 平滑处理：将 0 替换为极小值
    eps = 1e-6
    expected_pct = np.where(expected_pct == 0, eps, expected_pct)
    actual_pct = np.where(actual_pct == 0, eps, actual_pct)
    
    # 计算每个分箱的贡献值
    contribution = (actual_pct - expected_pct) * np.log(actual_pct / expected_pct)
    
    # 计算 PSI
    psi = np.sum(contribution)
    
    # 构建明细 DataFrame
    bin_df = pd.DataFrame({
        'bin_start': bin_edges[:-1],
        'bin_end': bin_edges[1:],
        'expected_count': expected_counts,
        'actual_count': actual_counts,
        'expected_pct': expected_pct,
        'actual_pct': actual_pct,
        'contribution': contribution
    })
    
    return psi, bin_df

# 示例用法
np.random.seed(42)
expected_scores = np.random.normal(600, 100, 10000)
actual_scores = np.random.normal(620, 110, 10000)

psi_value, psi_detail = calculate_psi(expected_scores, actual_scores, bins=10, method='equal_width')
print(f"PSI 值: {psi_value:.4f}")
print(psi_detail.head())

3.10 PSI 的局限性

尽管 PSI 是风控稳定性监控的核心指标，但在实际应用中仍需注意以下局限性：

• 对分箱数量敏感：分箱越多，PSI 越容易受噪声影响；分箱过少，可能掩盖局部偏移。
• 无法区分偏移方向：PSI 只反映分布差异的大小，不反映偏移的方向（如客群变好还是变差）。
• 对样本量敏感：样本量过小时，PSI 的统计稳定性下降，容易出现假阳性。
• 无法定位原因：PSI 只能检测到分布发生了偏移，但无法自动识别偏移的原因（如特征缺失、客群变化、外部环境变化等）。