2. PSI 数学原理：公式推导、期望比例与实际比例对比、分箱计算逻辑

群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是衡量两个分布之间差异的标准化度量。在模型监控中，它用于量化模型评分在 期望（开发/训练）样本 与 实际（生产/当前）样本 之间的偏移程度。本节从数学公式出发，逐步拆解其计算逻辑。

2.1 PSI 公式推导

PSI 的核心思想来源于信息论中的 相对熵（KL 散度），但 PSI 是对称化版本。其标准计算公式如下：

PSI = Σ (实际比例_i - 期望比例_i) * ln(实际比例_i / 期望比例_i)

其中：

• 期望比例_i：第 i 个分箱中，开发样本的占比（基准分布）。
• 实际比例_i：第 i 个分箱中，生产样本的占比（当前分布）。
• ln：自然对数。
• Σ：对所有分箱求和。

该公式本质上是 （实际比例 - 期望比例） 与 （对数变化率） 的乘积之和。当两个分布完全一致时，每个分箱的差值为 0，PSI = 0。分布差异越大，PSI 值越大。

2.2 期望比例与实际比例的对比

为了直观理解，下表展示了一个 5 分箱的示例，对比了期望比例与实际比例，并计算了每个分箱的 PSI 贡献值。

从上表可以看出：

• 分箱 3 的绝对差值最大（-0.10），贡献了最高的 PSI 值（0.0287）。
• 分箱 1 虽然差值较小（+0.05），但由于对数比更大，贡献值也较高。
• 分箱 4 和 5 比例完全一致，贡献为 0。

2.3 PSI 分箱计算逻辑

PSI 的计算高度依赖分箱策略。不合理的分箱会导致 PSI 值失真。标准的分箱逻辑包含以下步骤：

1. 确定分箱边界： 基于开发样本（期望分布）确定分箱的切分点。通常使用等频分箱（每个箱包含相同数量的样本）或等距分箱。
2. 计算期望比例： 统计每个分箱中开发样本的数量，除以开发样本总数，得到期望比例 E_i。
3. 映射实际样本： 使用相同的分箱边界，将生产样本（实际分布）划分到对应的分箱中。
4. 计算实际比例： 统计每个分箱中生产样本的数量，除以生产样本总数，得到实际比例 A_i。
5. 处理零值： 如果某个分箱中期望比例或实际比例为 0，会导致对数计算无定义。通常采用 平滑处理，例如将 0 替换为一个极小值（如 0.0001），或将该分箱与相邻分箱合并。
6. 求和： 按公式计算每个分箱的贡献并求和，得到最终的 PSI 值。

下图展示了 PSI 分箱计算的核心流程，从原始分数到最终 PSI 值的完整链路。

2.4 PSI 阈值与告警逻辑

在实际工程中，PSI 值通常按以下经验阈值进行告警分级：