2. PSI 数学原理与公式推导
群体稳定性指标（Population Stability Index, PSI）是信用评分模型监控中最核心的量化指标。要真正理解 PSI 的取值含义与阈值设定，必须从它的数学定义出发，并追溯其与信息论中 KL 散度的内在联系。本节将严格推导 PSI 公式，并解释实际计算中对数底数的选择逻辑。
2.1 PSI 的数学定义
PSI 衡量的是两个分布之间的整体偏移程度。在信用评分场景中，通常比较的是 预期分布（Expected, E） 与 实际分布（Actual, A） 在相同分箱上的差异。其标准计算公式为：
PSI 标准公式：
\[ PSI = \sum_{i=1}^{n} (A_i - E_i) \cdot \ln\left(\frac{A_i}{E_i}\right) \]
其中：
- n：分箱总数（通常为 10 或 20 等分位箱）
- E_i：第 i 个分箱中，预期样本占比（如建模时的样本分布）
- A_i：第 i 个分箱中，实际样本占比（如当前监控期的样本分布）
公式的核心思想是：如果两个分布完全一致，则每个分箱的 \(A_i = E_i\)，此时 \((A_i - E_i) = 0\)，PSI = 0。分布差异越大，PSI 值越大。
2.2 基于信息论（KL 散度）的推导
PSI 并非凭空产生的经验公式，它本质上是 KL 散度（Kullback-Leibler Divergence） 的一种对称化变体。KL 散度衡量的是用一个分布 Q 来近似另一个分布 P 时，所损失的信息量：
KL 散度定义：
\[ D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_{i} P_i \cdot \ln\left(\frac{P_i}{Q_i}\right) \]
KL 散度具有 非对称性，即 \(D_{KL}(P \parallel Q) \neq D_{KL}(Q \parallel P)\)。而 PSI 巧妙地通过取两个方向 KL 散度的 平均值，构造了一个对称的度量：
PSI 的 KL 散度推导：
\[ \begin{aligned} PSI &= D_{KL}(A \parallel E) + D_{KL}(E \parallel A) \\ &= \sum_{i} A_i \cdot \ln\left(\frac{A_i}{E_i}\right) + \sum_{i} E_i \cdot \ln\left(\frac{E_i}{A_i}\right) \\ &= \sum_{i} (A_i - E_i) \cdot \ln\left(\frac{A_i}{E_i}\right) \end{aligned} \]
最终结果恰好等于 PSI 的标准公式。因此，PSI 本质上是 对称化的 KL 散度，同时考虑了实际分布相对于预期分布的偏离，以及预期分布相对于实际分布的偏离。
下图展示了从 KL 散度到 PSI 的推导路径：
2.3 实际计算中的对数底数选择
在 PSI 的实际计算中，对数底数的选择会影响 PSI 的 数值尺度，但不会改变其 相对排序 和 稳定性判断。常见的底数选择有以下三种：
| 对数底数 | 常用场景 | 数值特点 | 阈值参考 |
|---|---|---|---|
| 自然对数 (ln) | 学术研究、信息论推导 | 数值适中，与 KL 散度单位一致（nats） | PSI < 0.1 稳定；0.1~0.25 需关注；> 0.25 不稳定 |
| 常用对数 (log₁₀) | 部分银行风控系统 | 数值约为 ln 的 0.434 倍，偏小 | 需将阈值乘以 0.434 进行换算 |
| 以 2 为底 (log₂) | 信息论、比特单位 | 数值约为 ln 的 1.442 倍，偏大 | 需将阈值乘以 1.442 进行换算 |
行业最佳实践： 在信用评分模型监控中，绝大多数金融机构和监管要求均采用 自然对数 (ln) 作为默认底数。这既与信息论推导保持一致，也便于直接套用业界通用的 PSI 阈值（0.1 / 0.25）。如果系统使用 log₁₀ 或 log₂，务必在文档中明确标注，并对阈值做相应换算。
底数选择对计算的影响示例：
假设某个分箱中 \(A_i = 0.15\)，\(E_i = 0.10\)，则：
- 使用 ln：\((0.15 - 0.10) \times \ln(0.15/0.10) = 0.05 \times 0.4055 = 0.0203\)
- 使用 log₁₀：\((0.15 - 0.10) \times \log_{10}(0.15/0.10) = 0.05 \times 0.1761 = 0.0088\)
- 使用 log₂：\((0.15 - 0.10) \times \log_{2}(0.15/0.10) = 0.05 \times 0.5850 = 0.0293\)
可见，不同底数下的 PSI 分箱贡献值差异明显，但相对大小关系保持不变。因此，在跨项目或跨机构对比 PSI 时，必须确认双方使用的对数底数是否一致。
2.4 PSI 公式的直观理解
除了数学推导，我们还可以从 加权偏差 的角度直观理解 PSI 公式：
PSI 的直观分解：
\[ PSI = \sum_{i=1}^{n} \underbrace{(A_i - E_i)}_{\text{偏差项}} \times \underbrace{\ln\left(\frac{A_i}{E_i}\right)}_{\text{权重项}} \]
- 偏差项 (A_i - E_i)：衡量实际占比与预期占比的绝对差异，可正可负。
- 权重项 ln(A_i/E_i)：衡量相对变化幅度。当 A_i 远大于 E_i 或远小于 E_i 时，权重项会放大偏差的影响。
- 两者相乘后，无论偏差方向如何，每个分箱的贡献值始终为 非负（因为 (A_i - E_i) 与 ln(A_i/E_i) 同号）。
下图直观展示了 PSI 公式中偏差项与权重项的交互关系：
2.5 关键要点总结
| 要点 | 说明 |
|---|---|
| PSI 本质 | 对称化的 KL 散度，同时衡量两个方向的分布差异 |
| 取值范围 | PSI ≥ 0，值越大表示分布偏移越严重 |
| 对数底数 | 推荐使用自然对数 ln，与业界阈值标准一致 |
| 分箱要求 | 每个分箱的 E_i 和 A_i 均需大于 0，否则需做平滑处理 |
| 计算一致性 | 跨项目对比时，必须确认对数底数和分箱方式相同 |
常见误区： 部分分析人员误以为 PSI 只衡量“实际分布相对于预期分布”的偏移。实际上，从 KL 散度的对称化推导可知，PSI 同时考虑了 两个方向 的分布差异，这也是它比单一 KL 散度更稳健的原因。