3. 投资组合理论回顾：马科维茨均值-方差模型、有效前沿、夏普比率

在量化投资与风险归因的实战中，马科维茨（Harry Markowitz）于1952年提出的均值-方差模型是现代投资组合理论的基石。该模型将投资决策简化为两个核心维度：预期收益（均值）与收益波动（方差/标准差）。本节将系统回顾该理论的核心概念、数学表达、有效前沿的构建以及夏普比率的应用，为后续的组合风险归因与AB测试打下坚实的理论基础。

3.1 均值-方差模型的核心假设与数学表达

均值-方差模型建立在以下关键假设之上：

• 投资者是理性的：在给定风险水平下追求收益最大化，或在给定收益水平下追求风险最小化。
• 收益服从正态分布：仅用均值和方差即可完全描述资产收益的分布特征。
• 无摩擦市场：不考虑交易成本、税收和流动性限制。
• 单期投资：所有决策基于单一持有期。

对于一个包含 N 个资产的组合，其数学表达如下：

E(R_p) = Σ (w_i * E(R_i))

σ²_p = Σ Σ (w_i * w_j * σ_ij)

模型的核心优化目标是在给定目标收益 E(R_target) 下，最小化组合方差：

Minimize: σ²_p
Subject to: E(R_p) = E(R_target)
            Σ w_i = 1
            w_i ≥ 0 (允许卖空时可放宽)

3.2 有效前沿（Efficient Frontier）

通过改变目标收益 E(R_target)，重复求解上述优化问题，可以得到一系列最优组合。将这些组合在“风险（标准差）-收益”坐标系中描点连线，即得到有效前沿。有效前沿上的每一个点都代表一个帕累托最优组合，即在给定风险下收益最高，或在给定收益下风险最低。

有效前沿具有以下关键特征：

• 凸性：曲线向左上方凸起，体现了风险与收益的非线性关系。
• 最小方差组合（MVP）：有效前沿最左侧的点，代表全局风险最小的组合。
• 不可达区域：有效前沿左上方的区域在现有资产条件下无法实现。

3.3 夏普比率（Sharpe Ratio）

夏普比率由威廉·夏普（William Sharpe）于1966年提出，用于衡量投资组合的风险调整后收益。其核心思想是：每承担一单位总风险（标准差），能获得多少超出无风险利率的超额收益。

计算公式：

Sharpe Ratio = (E(R_p) - R_f) / σ_p

其中：

• E(R_p)：组合预期收益
• R_f：无风险利率（通常使用短期国债收益率）
• σ_p：组合收益的标准差（总风险）

夏普比率的实战解读：

3.4 从理论到实战：资本配置线（CAL）与市场组合

引入无风险资产后，投资者可以在无风险资产与风险组合之间进行配置。连接无风险利率点与有效前沿上某一点的直线称为资本配置线（Capital Allocation Line, CAL）。其中，与有效前沿相切的那条CAL具有最高的斜率，该切点对应的组合称为最优风险组合或市场组合（在CAPM框架下）。

该切线的斜率即为该组合的夏普比率。因此，在均值-方差框架下，最大化夏普比率等价于寻找CAL与有效前沿的切点。

3.5 本节核心概念总结