2. 图论基础：图的定义、节点与边、有向图与无向图、度与邻接矩阵

图论是图神经网络（GNN）的数学基石。在团伙识别场景中，我们将每个实体（如账户、设备、IP）抽象为节点，将实体之间的关联（如转账、同设备登录、同IP）抽象为边。理解图的基本概念，是后续构建GraphSAGE模型的前提。

2.1 图的定义

一个图 G 由两个集合构成：G = (V, E)。其中：

• V（Vertex Set）：节点集合，每个节点代表一个实体。
• E（Edge Set）：边集合，每条边代表两个实体之间存在某种关系。

例如，在金融反欺诈团伙识别中：

• V = {账户A, 账户B, 账户C, 设备X, 设备Y}
• E = {(A→B), (A→C), (B→C), (A→X), (C→Y)}

2.2 节点与边

2.3 有向图与无向图

根据边是否具有方向性，图分为两种基本类型：

• 无向图（Undirected Graph）：边没有方向，表示对称关系。例如“设备共享”关系——如果账户A和设备X共享，那么设备X也必然与账户A共享。
• 有向图（Directed Graph）：边具有方向，表示非对称关系。例如“转账”关系——A向B转账，并不代表B向A转账。

2.4 度（Degree）

节点的度是衡量其连接数量的重要指标：

• 无向图：节点 v 的度 d(v) = 与 v 相连的边的数量。
• 有向图：分为入度（in-degree）和出度（out-degree）。
  • 入度 d_in(v) = 指向 v 的边的数量。
  • 出度 d_out(v) = 从 v 出发的边的数量。

2.5 邻接矩阵（Adjacency Matrix）

邻接矩阵是图的代数表示，它将图结构转化为矩阵形式，便于计算机处理和数学运算。

对于一个包含 n 个节点的图，邻接矩阵 A 是一个 n × n 的方阵：

• 无向图：如果节点 i 和 j 之间有边，则 A_ij = A_ji = 1；否则为 0。矩阵是对称的。
• 有向图：如果存在从 i 指向 j 的边，则 A_ij = 1；否则为 0。矩阵不一定对称。
• 加权图：A_ij 可以取边的权重值（如转账金额），而非仅 0/1。

2.6 实战：用Python构建图与邻接矩阵

在Python中，我们通常使用 NetworkX 库来构建和操作图结构。以下是一个简单的示例：

import networkx as nx
import numpy as np

# 1. 创建一个无向图
G = nx.Graph()

# 2. 添加节点
G.add_nodes_from([1, 2, 3, 4])

# 3. 添加边
G.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)])

# 4. 获取邻接矩阵（返回NumPy数组）
adj_matrix = nx.to_numpy_array(G, nodelist=sorted(G.nodes()))
print("邻接矩阵：\n", adj_matrix)

# 5. 计算每个节点的度
degrees = dict(G.degree())
print("节点度：", degrees)

# 输出：
# 邻接矩阵：
#  [[0. 1. 1. 0.]
#  [1. 0. 0. 1.]
#  [1. 0. 0. 1.]
#  [0. 1. 1. 0.]]
# 节点度： {1: 2, 2: 2, 3: 2, 4: 2}

2.7 本章小结