4、逻辑回归评分卡：逻辑回归原理、评分卡刻度参数(PDO、Offset)、评分公式推导

4.1 逻辑回归原理与信用评分

逻辑回归（Logistic Regression）是信用评分卡最经典的算法之一。它通过 Sigmoid 函数将线性回归的输出映射到 [0,1] 区间，直接输出样本违约的概率 P(Y=1|X)。

P(Y=1|X) = 1 / (1 + e^(-z))
z = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ

逻辑回归在评分卡中的优势：

• 可解释性强：系数直接反映特征对违约概率的对数影响。
• 输出概率：天然适合二分类风险排序。
• 成熟稳定：监管和业务方广泛接受。

4.2 评分卡刻度参数：PDO 与 Offset

评分卡的核心是将逻辑回归输出的 Odds（好坏比）线性映射到整数分数。两个关键刻度参数定义了这个映射：

4.3 评分公式推导

从逻辑回归到评分卡的完整推导过程：

1. 定义好坏比 Odds：

   Odds = P(Y=1) / P(Y=0) = P / (1-P)

2. 逻辑回归的对数几率形式：

   ln(Odds) = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ

3. 评分卡线性映射假设：

   Score = A - B × ln(Odds)

   其中 A 为补偿量，B 为刻度因子。负号确保高 Odds（低风险）对应高分数。

4. 代入 PDO 和 Offset 求解 A、B：

   设好坏比 θ₀ 时分数为 Offset，好坏比 2θ₀ 时分数为 Offset + PDO：

   Offset = A - B × ln(θ₀)
   Offset + PDO = A - B × ln(2θ₀)

   两式相减得：

   PDO = -B × ln(2)  →  B = -PDO / ln(2)

   代入第一式得：

   A = Offset + B × ln(θ₀) = Offset - (PDO / ln(2)) × ln(θ₀)

5. 最终评分公式：

   Score = Offset - (PDO / ln(2)) × (ln(Odds) - ln(θ₀))

   或展开为：

   Score = Offset - (PDO / ln(2)) × (β₀ + β₁x₁ + ... + βₙxₙ - ln(θ₀))

Offset = 600, θ₀ = 1 (好坏比 1:1), PDO = 20
B = -20 / ln(2) ≈ -28.85
A = 600 - (-28.85) × ln(1) = 600
Score = 600 - 28.85 × ln(Odds)

4.4 评分卡公式的实用形式

在实际建模中，评分卡通常以“每变量得分表”形式呈现，便于业务理解和部署：

Score = Offset + Factor × (β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ - ln(θ₀))

其中 Factor = -PDO / ln(2)

每个特征 xᵢ 的贡献分 = Factor × βᵢ × xᵢ

4.5 评分卡刻度参数设定建议

实际项目中，Offset 和 PDO 的设定需结合业务容忍度和分数分布：

• Offset 设定：通常取 600-700，对应好坏比 1:1 或 50:1 时的基准分数。
• PDO 设定：常用 20-50，PDO 越小分数区分度越高，但波动也越大。
• 分数区间：确保 95% 的样本落在 300-900 之间，避免极端分数。
• 业务对齐：与审批策略的 cutoff 分数联动，确保通过率与坏账率平衡。