2. GLM在车险定价中的应用：广义线性模型结构、连接函数、泊松/伽马分布选择
2.1 为什么车险定价需要GLM？
传统线性回归假设因变量服从正态分布且方差恒定，但车险理赔数据具有明显的非正态特征：
- 索赔次数：非负整数，大量保单为0次索赔，分布右偏
- 索赔金额：连续正数，长尾分布，方差随均值增大
- 纯保费：索赔次数 × 索赔金额，混合分布
广义线性模型（GLM）通过放宽正态假设、引入连接函数和指数族分布，成为车险定价的行业标准方法。
核心优势： GLM在同一框架下统一处理频率（泊松）与 severity（伽马），且保持可解释性，便于监管合规。
2.2 GLM三大结构组件
| 组件 | 定义 | 车险定价角色 |
|---|---|---|
| 随机分量 | 因变量 Y 服从指数族分布，如泊松、伽马、逆高斯 | 描述索赔次数或金额的概率生成机制 |
| 系统分量 | 线性预测器 η = Xβ | 将风险因子（年龄、车型、地区）线性组合 |
| 连接函数 | g(μ) = η，将均值 μ 与线性预测器关联 | 保证预测值落在因变量的合理范围内 |
2.3 连接函数的选择
连接函数是GLM区别于传统线性模型的关键。车险定价中最常用的连接函数：
| 连接函数 | 数学形式 | 适用场景 | 优点 |
|---|---|---|---|
| 对数连接 | g(μ) = ln(μ) | 泊松、伽马、Tweedie | 保证 μ > 0；参数可解释为乘法效应 |
| 恒等连接 | g(μ) = μ | 正态分布 | 简单直接，但可能产生负预测值 |
| 逆连接 | g(μ) = 1/μ | 伽马分布（经典） | 方差稳定，但解释性较差 |
行业惯例： 车险频率和 severity 模型几乎统一使用对数连接。原因：预测值自动为正，且风险因子效应以乘法形式呈现（如年轻驾驶员风险是基准组的1.5倍），便于费率手册制作。
2.4 泊松分布：索赔频率建模
索赔次数通常假设服从泊松分布，其概率质量函数为：
P(Y = y) = (e^(-λ) * λ^y) / y! , y = 0, 1, 2, ...
其中 λ = E[Y] = Var(Y)（等离散假设）在GLM框架下，使用对数连接：
ln(λ_i) = β_0 + β_1 * x_{i1} + β_2 * x_{i2} + ... + offset(ln(exposure_i))关键点：
- offset项将暴露数（如保险年数）纳入模型，使预测为年化索赔频率
- 泊松假设均值=方差，但实际车险数据常出现过离散（方差 > 均值），此时可改用负二项分布
2.5 伽马分布：索赔金额建模
索赔金额（severity）通常假设服从伽马分布，其概率密度函数为：
f(y; μ, ν) = (1 / (Γ(ν) * (μ/ν)^ν)) * y^(ν-1) * e^(-ν*y/μ), y > 0
其中 E[Y] = μ, Var(Y) = μ^2 / ν伽马分布特性：
- 支持域为正实数，适合金额数据
- 方差随均值平方增长，符合车险 severity 的异方差特征
- 形状参数 ν 控制分布形态，ν 越小尾部越厚
GLM中使用对数连接：
ln(μ_i) = β_0 + β_1 * x_{i1} + β_2 * x_{i2} + ...2.6 分布选择对比
| 维度 | 泊松分布（频率） | 伽马分布（severity） | Tweedie分布（纯保费） |
|---|---|---|---|
| 因变量类型 | 非负整数（0,1,2,...） | 连续正数 | 连续正数含零点 |
| 均值-方差关系 | Var = μ | Var ∝ μ² | Var ∝ μ^p (1<p<2) |
| 适用场景 | 索赔次数 | 索赔金额（给定发生索赔） | 纯保费（频率×severity） |
| 连接函数 | 对数 | 对数 | 对数 |
| 过离散处理 | 负二项分布 | 调整形状参数 | 调整p参数 |
2.7 实战案例：车险频率模型构建
假设我们使用R语言构建GLM频率模型：
# 泊松GLM频率模型
freq_model <- glm(claim_count ~ age_group + vehicle_type + region +
offset(log(exposure)),
family = poisson(link = "log"),
data = insurance_data)
# 检查过离散
dispersion <- sum(residuals(freq_model, type = "pearson")^2) /
df.residual(freq_model)
# 若 dispersion > 1.2，考虑负二项分布
注意： 泊松过离散是车险数据的常态。若 dispersion 超过1.5，应使用负二项分布或准泊松（quasi-Poisson）修正标准误。忽略过离散会导致系数标准误被低估，显著性检验失真。
2.8 模型诊断与评估
GLM模型建立后，需进行以下诊断：
- 残差分析：检查 Pearson 残差与偏差残差是否随机分布
- 过离散检验：计算 dispersion 参数
- 变量显著性：Wald 检验或似然比检验
- 模型比较：AIC / BIC 用于嵌套模型选择
- 业务合理性：系数方向是否符合精算直觉（如年轻驾驶员系数 > 0）
2.9 小结
GLM为车险定价提供了严谨的统计框架：
- 泊松分布 + 对数连接 → 索赔频率模型，需警惕过离散
- 伽马分布 + 对数连接 → 索赔金额模型，方差随均值平方增长
- 对数连接 是行业标准，保证正预测值与乘法解释性
- 实际项目中常将频率与 severity 分开建模，或使用 Tweedie 分布直接建模纯保费