3. 参数法VaR：正态分布假设、均值-方差框架、单资产VaR计算

参数法（又称方差-协方差法）是VaR计算中最经典、最易于实现的方法。其核心思想是：假设资产收益率服从某种已知的概率分布，然后利用该分布的统计参数（均值、方差）直接推导出给定置信水平下的分位数，从而得到VaR值。本章重点介绍最常用的正态分布假设下的参数法VaR。

3.1 正态分布假设与均值-方差框架

参数法VaR建立在两个核心假设之上：

1. 收益率正态性：资产或组合的日收益率 \( R \sim N(\mu, \sigma^2) \)，即服从均值为 \(\mu\)、方差为 \(\sigma^2\) 的正态分布。
2. 线性风险暴露：组合价值变化与收益率呈线性关系，即 \( \Delta V = V_0 \times R \)，其中 \( V_0 \) 为初始投资金额。

在均值-方差框架下，风险完全由收益率的标准差（\(\sigma\)）刻画，而预期收益由均值（\(\mu\)）刻画。VaR的计算本质上是寻找正态分布左侧尾部的特定分位点。

3.2 单资产参数法VaR计算公式

在正态分布假设下，单资产的相对VaR（相对于均值）和绝对VaR（相对于0）计算公式如下：

其中：

• \( V_0 \)：资产当前市场价值（头寸规模）
• \( z_\alpha \)：标准正态分布在置信水平 \( 1-\alpha \) 下的左侧分位数（负值）
• \( \sigma \)：资产日收益率的标准差（波动率）
• \( \mu \)：资产日收益率的均值（通常假设为0或取历史均值）

3.3 计算步骤与示例

单资产参数法VaR的计算流程可以归纳为以下四个步骤：

1. 确定参数：选择置信水平（如95%或99%）和持有期（如1天）。
2. 估计波动率：使用历史数据计算收益率的标准差 \(\sigma\)。常用方法包括简单移动平均、指数加权移动平均（EWMA）等。
3. 查找分位数：根据置信水平查找标准正态分布的分位数 \( z_\alpha \)。
4. 计算VaR：代入公式 \( VaR = V_0 \times z_\alpha \times \sigma \) 得到结果。

3.4 计算示例（Python代码）

以下代码演示了如何使用参数法计算单资产的日VaR：

import numpy as np
from scipy import stats

# 示例参数
V0 = 1_000_000          # 资产市值 100万
confidence_level = 0.95 # 置信水平 95%
alpha = 1 - confidence_level

# 假设历史日收益率数据（模拟）
np.random.seed(42)
daily_returns = np.random.normal(loc=0.0005, scale=0.015, size=500)

# 估计均值和标准差
mu = np.mean(daily_returns)
sigma = np.std(daily_returns, ddof=1)  # 样本标准差

# 查找标准正态分位数
z_alpha = stats.norm.ppf(alpha)  # 左侧分位数，约 -1.645

# 计算相对VaR（忽略均值）
VaR_rel = V0 * z_alpha * sigma

# 计算绝对VaR（考虑均值）
VaR_abs = V0 * (z_alpha * sigma - mu)

print(f"置信水平: {confidence_level:.0%}")
print(f"日收益率均值 μ: {mu:.6f}")
print(f"日收益率标准差 σ: {sigma:.6f}")
print(f"分位数 z_α: {z_alpha:.4f}")
print(f"相对VaR (1天): {VaR_rel:,.2f}")
print(f"绝对VaR (1天): {VaR_abs:,.2f}")

3.5 参数法的优缺点