1. VaR 基础概念
1.1 VaR 的定义
风险价值（Value at Risk，VaR）是指在正常的市场条件下，在给定的置信水平和持有期内，某一金融资产或投资组合可能遭受的最大预期损失。VaR 的核心思想是将复杂的市场风险度量简化为一个单一数值，便于风险管理者、监管机构和投资者理解与比较。
核心理解： VaR 回答的问题是——“在 95%（或 99%）的置信水平下，未来 N 天内，我的组合最多可能亏损多少钱？”
1.2 置信水平与持有期
VaR 的两个关键参数决定了其数值大小与含义：
| 参数 | 定义 | 典型取值 | 对 VaR 的影响 |
|---|---|---|---|
| 置信水平 | 实际损失不超过 VaR 值的概率 | 95%、99%、99.9% | 置信水平越高，VaR 值越大 |
| 持有期 | 衡量风险的时间窗口长度 | 1 天、10 天、1 年 | 持有期越长，VaR 值通常越大 |
实践提示： 巴塞尔协议 III 要求银行使用 99% 置信水平、10 天持有期计算市场风险资本要求。对冲基金和资管机构则常用 95% 置信水平、1 天持有期进行日常风险监控。
1.3 VaR 的数学表达式
设投资组合在持有期 Δt 内的损失随机变量为 L(Δt)，则 VaR 的数学定义为：
P[ L(Δt) ≤ VaR(α, Δt) ] = α其中：
- α：置信水平（如 0.95 或 0.99）
- Δt：持有期（如 1 天或 10 天）
- L(Δt)：持有期内的损失（正值表示亏损）
- VaR(α, Δt)：在置信水平 α 下，持有期 Δt 内的风险价值
等价地，若用收益率 R(Δt) 表示，设初始价值为 V₀，则：
P[ V₀ × R(Δt) ≤ -VaR(α, Δt) ] = 1 - α
或
P[ R(Δt) ≤ -VaR(α, Δt) / V₀ ] = 1 - α
注意： VaR 不满足次可加性（Subadditivity），即组合的 VaR 可能大于各资产 VaR 之和。这一缺陷是后续引入条件风险价值（CVaR/Expected Shortfall）的重要原因。
1.4 VaR 的图形化理解
下图展示了在正态分布假设下，VaR 与损失分布的关系：
1.5 不同置信水平下的 VaR 对比
下表展示了在标准正态分布假设下，不同置信水平对应的 VaR 乘数因子：
| 置信水平 | 标准正态分位数 | VaR 乘数因子 | 尾部概率 |
|---|---|---|---|
| 90% | -1.282 | 1.28σ | 10% |
| 95% | -1.645 | 1.65σ | 5% |
| 97.5% | -1.960 | 1.96σ | 2.5% |
| 99% | -2.326 | 2.33σ | 1% |
| 99.9% | -3.090 | 3.09σ | 0.1% |
关键公式： 在正态分布假设下，VaR(α, Δt) = -μ·Δt + σ·√(Δt)·zα，其中 zα 为标准正态分布的 α 分位数（负值）。当 μ=0 时，简化为 VaR = -σ·√(Δt)·zα。
1.6 VaR 的三种主要计算方法
在实际应用中，VaR 的计算方法可分为三大类，每类方法各有优劣：
1.7 VaR 的局限性与注意事项
- 尾部风险不足： VaR 只告诉我们在置信水平内的最大损失，但无法衡量超出 VaR 的极端损失规模（即尾部风险）。
- 不满足次可加性： 组合 VaR 可能大于各资产 VaR 之和，这与分散化降低风险的基本原理相悖。
- 对分布假设敏感： 参数法依赖正态分布假设，而金融收益率通常具有厚尾特征，导致 VaR 低估实际风险。
- 时间维度局限： VaR 是静态指标，无法反映风险随时间动态变化的特征。