4. 自旋回波抑制低频噪声仿真

任务拆解：把“低频噪声”变成可比较的两条相干曲线

本案例要验证的核心事实是：自旋回波对静态或慢变噪声有效，对快变噪声无效。因此仿真设计的关键不是“跑一条回波序列”，而是构造一个可控的低频噪声模型，让同一段噪声同时作用于“无回波（自由感应衰减）”和“带回波（π 脉冲翻转）”两条路径，再比较相干幅值随总演化时间的衰减。

采用二能级纯退相干模型：噪声表现为随时间变化的失谐 δ(t)，相干幅值取 W = |⟨exp(-i∫δ(t)dt)⟩|。无回波时相位累积为 φ = ∫₀^T δ(t)dt；回波序列在 T/2 处施加 π 脉冲，等效于把后半段失谐取负，相位累积变为 φ = ∫₀^{T/2}δdt − ∫_{T/2}^{T}δdt。若 δ 在 T 内近似恒定，回波相位几乎抵消；若 δ 变化很快，抵消失效。

噪声模型与仿真参数

用一阶自回归过程（Ornstein–Uhlenbeck 离散形式）生成低频噪声，相关时间 τ_c 可调，这是控制“低频程度”的关键旋钮：

δ[k+1] = δ[k]·exp(-dt/τ_c) + σ·sqrt(1 - exp(-2dt/τ_c))·ξ[k],  ξ ~ N(0,1)

教学示例参数（示例值，非实测）：失谐标准差 σ = 2π×5 kHz，总演化时间 T 取 0.2 ms 到 4 ms 扫描，时间步 dt = 1 μs，τ_c 分别取 0.05 ms（快变）、0.5 ms（中等）、5 ms（慢变）。每个 τ_c 下生成 200 条噪声实现做系综平均，得到 W_FID(T) 与 W_echo(T)。

关键实现：同一噪声、两条相位路径

import numpy as np

def ou_noise(T, dt, tau_c, sigma, rng):
    n = int(T / dt)
    a = np.exp(-dt / tau_c)
    b = sigma * np.sqrt(1 - a**2)
    d = np.zeros(n)
    for k in range(1, n):
        d[k] = a * d[k-1] + b * rng.standard_normal()
    return d

def phase_fid(d, dt):
    return np.sum(d) * dt

def phase_echo(d, dt):
    half = len(d) // 2
    return (np.sum(d[:half]) - np.sum(d[half:])) * dt

def coherence(T_list, dt, tau_c, sigma, n_real=200, seed=0):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    w_fid, w_echo = [], []
    for T in T_list:
        pf, pe = [], []
        for _ in range(n_real):
            d = ou_noise(T, dt, tau_c, sigma, rng)
            pf.append(phase_fid(d, dt))
            pe.append(phase_echo(d, dt))
        w_fid.append(abs(np.mean(np.exp(-1j*np.array(pf)))))
        w_echo.append(abs(np.mean(np.exp(-1j*np.array(pe)))))
    return np.array(w_fid), np.array(w_echo)

T_list = np.linspace(0.2e-3, 4e-3, 20)
for tau_c in [0.05e-3, 0.5e-3, 5e-3]:
    wf, we = coherence(T_list, 1e-6, tau_c, 2*np.pi*5e3, seed=1)
    print(f"tau_c={tau_c*1e3:.2f} ms  W_FID(T=4ms)={wf[-1]:.3f}  W_echo(T=4ms)={we[-1]:.3f}")

要点：phase_echo 用“前半段求和减后半段求和”实现 π 脉冲的符号翻转，等价于把后半段失谐取负；两条路径共用同一条 d，保证对比公平。

结果判读与验证

预期现象（由模型直接推出，非实测）：τ_c = 5 ms 时，T = 4 ms 内噪声近似恒定，回波相位几乎抵消，W_echo 应显著高于 W_FID；τ_c = 0.05 ms 时噪声在 T/2 内已多次变号，回波抵消失效，两条曲线应接近重合。验证时检查三点：

• 同一 τ_c 下 W_echo(T) ≥ W_FID(T)（回波不应让相干更差，数值误差除外）；
• 随 τ_c 增大，W_echo/W_FID 的比值应上升，体现“越慢越有效”；
• 增大系综数 n_real，曲线应更平滑，说明结果是统计平均而非单次噪声实现的偶然。