1. 二能级原子与拉比振荡仿真

物理模型与仿真思路

二能级原子在共振微波驱动下的哈密顿量（旋转波近似，RWA）为：

H = (ħ/2) · [ 0    Ω
              Ω    0 ]

其中 Ω 为拉比频率（与驱动强度成正比）。设初始态为 |0⟩（基态），在共振条件下（失谐 Δ=0），态矢量的解析解为：

c₀(t) = cos(Ωt/2)
c₁(t) = -i·sin(Ωt/2)

因此激发态概率 P₁(t) = sin²(Ωt/2)，振荡周期 T = 2π/Ω。仿真目标是：用数值积分求解薛定谔方程，与解析解对比，并改变 Ω 观察振荡频率变化。

数值实现（Python）

用四阶龙格-库塔法（RK4）积分含时薛定谔方程。取 ħ=1，Ω=2π×5 MHz，时间步长 dt=1 ns，总时长 0.4 μs（约 2 个振荡周期）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

hbar = 1.0
Omega = 2 * np.pi * 5e6      # 拉比频率 2π×5 MHz
dt = 1e-9                    # 1 ns
T_total = 0.4e-6             # 0.4 μs
N = int(T_total / dt)
t = np.arange(N) * dt

# 哈密顿量（RWA，共振）
H = (hbar / 2) * np.array([[0, Omega],
                            [Omega, 0]], dtype=complex)

def rhs(psi):
    return -1j / hbar * (H @ psi)

# 初态 |0>
psi = np.array([1.0, 0.0], dtype=complex)
P1 = np.zeros(N)

for k in range(N):
    P1[k] = abs(psi[1])**2
    k1 = rhs(psi)
    k2 = rhs(psi + 0.5*dt*k1)
    k3 = rhs(psi + 0.5*dt*k2)
    k4 = rhs(psi + dt*k3)
    psi = psi + dt/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)

# 解析解
P1_exact = np.sin(Omega * t / 2)**2

# 误差
err = np.max(np.abs(P1 - P1_exact))
print(f"最大误差: {err:.2e}")
print(f"理论周期: {2*np.pi/Omega*1e9:.2f} ns")

plt.plot(t*1e9, P1, label="RK4 数值")
plt.plot(t*1e9, P1_exact, '--', label="解析 sin²(Ωt/2)")
plt.xlabel("t (ns)"); plt.ylabel("P₁(t)")
plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()

结果判读与驱动强度对比

运行后应观察到：P₁(t) 从 0 出发，在 t = π/Ω = 100 ns 时达到最大值 1（完全翻转），在 t = 2π/Ω = 200 ns 时回到 0。数值解与解析解的最大误差应在 10⁻⁶ 量级（受 dt 离散化限制）。

将 Ω 改为 2π×10 MHz 再运行一次，周期缩短为 100 ns，振荡次数加倍——这直接验证了 T = 2π/Ω 的反比关系。若把失谐 Δ 设为非零（修改 H 的对角元为 ±Δ/2），振荡幅度会下降为 Ω²/(Ω²+Δ²)，可作为扩展验证。