1. 量子比特退相干噪声建模与仿真验证

退相干噪声的物理图像与建模对象

单量子比特的退相干噪声由两条独立通道叠加而成：振幅阻尼（能量弛豫，T₁过程）与相位阻尼（纯退相位，T₂过程）。在密度矩阵语言中，两者分别对应不同的 Kraus 算符，仿真时按“先振幅阻尼、后相位阻尼”的顺序作用，即可得到含噪密度矩阵。

振幅阻尼通道的 Kraus 算符为：

E0 = [[1, 0], [0, sqrt(1-γ)]]
E1 = [[0, sqrt(γ)], [0, 0]]

其中 γ = 1 - exp(-t/T₁) 为衰减概率。相位阻尼通道的 Kraus 算符为：

F0 = [[1, 0], [0, sqrt(1-λ)]]
F1 = [[0, 0], [0, sqrt(λ)]]

其中 λ = 1 - exp(-t/T_φ)，T_φ 为纯退相位时间。注意 T₂ 与 T₁、T_φ 的关系为 1/T₂ = 1/(2T₁) + 1/T_φ，仿真中若给定 T₂ 需反解 T_φ。

仿真实现：密度矩阵演化与保真度计算

下面给出一个自洽的 Python 实现，使用 NumPy 完成 Kraus 算符构造、密度矩阵演化与保真度计算。初态取 |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2，该态对相位阻尼敏感、对振幅阻尼也敏感，适合同时观察两条通道的影响。

import numpy as np

# 基本算符
I2 = np.eye(2, dtype=complex)
sx = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
sz = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)

def amplitude_damping_kraus(gamma):
    E0 = np.array([[1, 0], [0, np.sqrt(1 - gamma)]], dtype=complex)
    E1 = np.array([[0, np.sqrt(gamma)], [0, 0]], dtype=complex)
    return [E0, E1]

def phase_damping_kraus(lam):
    F0 = np.array([[1, 0], [0, np.sqrt(1 - lam)]], dtype=complex)
    F1 = np.array([[0, 0], [0, np.sqrt(lam)]], dtype=complex)
    return [F0, F1]

def apply_channel(rho, kraus_ops):
    return sum(K @ rho @ K.conj().T for K in kraus_ops)

def evolve(rho0, t, T1, T2):
    # 由 T1、T2 反解 T_phi
    inv_Tphi = 1.0 / T2 - 1.0 / (2.0 * T1)
    if inv_Tphi <= 0:
        raise ValueError("T2 必须满足 T2 <= 2*T1")
    Tphi = 1.0 / inv_Tphi
    gamma = 1 - np.exp(-t / T1)
    lam = 1 - np.exp(-t / Tphi)
    rho = apply_channel(rho0, amplitude_damping_kraus(gamma))
    rho = apply_channel(rho, phase_damping_kraus(lam))
    return rho

def fidelity_pure(psi, rho):
    return float(np.real(psi.conj().T @ rho @ psi))

# 初态 |+>
psi0 = np.array([1, 1], dtype=complex) / np.sqrt(2)
rho0 = np.outer(psi0, psi0.conj())

# 示例参数（单位：μs）
T1, T2 = 50.0, 30.0
ts = np.linspace(0, 80, 9)
for t in ts:
    rho_t = evolve(rho0, t, T1, T2)
    F = fidelity_pure(psi0, rho_t)
    print(f"t={t:5.1f} μs  F={F:.4f}")

运行后应观察到保真度随 t 单调下降，且 t=0 时 F=1.0000。若把 T2 设为大于 2T₁ 的值，程序会抛出异常，这正是物理约束的体现。

正确性验证：三条独立判据

• 迹保持：对任意 t，Tr(ρ(t)) 应等于 1（误差 < 1e-12）。Kraus 算符满足 ΣK†K = I，这是必要条件。
• 半正定性：ρ(t) 的最小特征值应 ≥ -1e-12，否则说明通道实现有误。
• 极限行为：t→0 时 F→1；t→∞ 时 ρ 趋于 |0⟩⟨0|（振幅阻尼主导），此时对 |+⟩ 的保真度趋于 0.5。

此外可做单通道对照：令 T_φ→∞（仅振幅阻尼），保真度应满足解析式 F(t) = (1 + √(1-γ))/2；令 T₁→∞（仅相位阻尼），保真度应满足 F(t) = (1 + √(1-λ))/2。将仿真值与解析值逐点比对，误差应小于 1e-10，即可确认噪声模型实现正确。