4. 相位翻转纠错码的编码构造原理

在比特翻转码中，我们关心的是 |0⟩ 与 |1⟩ 被噪声互换；而相位翻转噪声作用在量子态上时，改变的是叠加态中两个分支的相对符号，例如把 α|0⟩+β|1⟩ 变成 α|0⟩−β|1⟩。这种错误在计算基下测量看不出来，却会破坏干涉。因此相位翻转纠错码的构造思路不能照搬“多复制几个比特再投票”，而要先把相位错误“翻译”成比特错误，再用成熟的重复码处理。本节围绕这一转换展开：先说明经典重复码的骨架，再给出相位翻转重复码的编码映射、码字空间与错误空间，最后归纳可纠正条件。

一、从经典重复码借来的骨架

经典三重复码把 1 位信息 b 编码为 bbb，接收端按多数表决恢复。它的两个关键性质是：码字之间至少相差 3 个比特位置（汉明距离 3），且任意单比特错误后仍离原码字最近。量子相位翻转码沿用“距离 3、纠正 1 个错误”的骨架，但复制对象不是比特值，而是相位关系。为此需要引入一个“把相位错误变成比特错误”的基变换：哈达玛门 H。由于 H|0⟩=|+⟩、H|1⟩=|−⟩，而 Z 错误在 {|+⟩,|−⟩} 基下恰好表现为 |+⟩↔|−⟩ 的翻转，所以“先 H 变换、再按比特翻转码保护、最后 H 变换回来”就构成了相位翻转码的基本结构。

二、编码映射设计

相位翻转重复码的标准编码映射为：

|0⟩ → |+ + +⟩ = (|000⟩+|001⟩+|010⟩+|011⟩+|100⟩+|101⟩+|110⟩+|111⟩)/√8
|1⟩ → |− − −⟩ = (|000⟩−|001⟩−|010⟩+|011⟩−|100⟩+|101⟩+|110⟩−|111⟩)/√8

实现上，编码电路只需三步：以数据比特为控制、两个辅助比特为目标做两个 CNOT，得到 α|000⟩+β|111⟩（这是比特翻转码的码字）；然后对三个比特各施加一个 H，即得上述 |+ + +⟩ 与 |− − −⟩。注意 H 作用在三个比特上是逐位进行的，因此编码后的态可以写成 α|+++⟩+β|−−−⟩。这个形式非常关键：它说明信息被存放在三个量子比特“相位是否一致”的集体属性中，而不是某个单比特的取值里。

从算符角度看，编码把逻辑泡利算符映射为：逻辑 X̄ = X₁X₂X₃，逻辑 Z̄ = Z₁Z₂Z₃。也就是说，要翻转逻辑比特需要同时作用三个物理比特，这正是“距离 3”的体现。相应地，稳定子由 X₁X₂ 与 X₂X₃ 生成（等价地也可写作 X₁X₂、X₂X₃ 两个对易的算符），它们把码空间固定为 |+++⟩ 与 |−−−⟩ 张成的二维子空间。

三、码字空间与错误空间

码字空间 C 是 |+++⟩ 与 |−−−⟩ 的所有线性组合，维数为 2。错误空间则由单比特相位错误 Z₁、Z₂、Z₃ 作用在码字上得到。以 |+++⟩ 为例：Z₁|+++⟩ = |−++⟩，Z₂|+++⟩ = |+−+⟩，Z₃|+++⟩ = |++−⟩。由于 Z|+⟩=|−⟩、Z|−⟩=|+⟩，这些错误态彼此正交，也与原码字正交。于是整个 8 维三比特空间被划分为四个互不重叠的子空间：无错子空间、Z₁ 子空间、Z₂ 子空间、Z₃ 子空间，每个维数均为 2。这种“错误把码空间搬到互不交叠的正交子空间”的结构，正是量子纠错能够无破坏测量识别错误类型的基础。

四、错误如何被识别：稳定子测量

实际纠错时并不直接测量三个比特的相位，而是测量稳定子 X₁X₂ 与 X₂X₃，得到两个本征值 ±1，组成 2 位错误症候。以 |+++⟩ 为参照，四种情形对应的症候为：无错 (+1,+1)；Z₁ 错误 (−1,+1)；Z₂ 错误 (−1,−1)；Z₃ 错误 (+1,−1)。由于 Z 与 X 反对易，Z 错误会翻转包含该比特的稳定子本征值，这正是症候的来源。得到症候后，按查表施加对应的 Z 恢复操作即可。需要强调：稳定子测量只泄露“哪个比特出了相位错误”，不泄露 α、β 的取值，因此不会破坏叠加态。

五、相位翻转可纠正条件

把上面的结构抽象成判据，相位翻转重复码可纠正单个相位错误，需同时满足三条：

• 错误集合封闭且可区分：待纠正的错误集合为 {I, Z₁, Z₂, Z₃}，任意两个不同错误 E_a、E_b 满足 E_a†E_b 不把码空间映回自身，即错误子空间两两正交，症候唯一。
• 码距足够：码字间最小距离为 3，可纠正 t = ⌊(d−1)/2⌋ = 1 个相位错误。若两个比特同时发生 Z 错误，例如 Z₁Z₂，其效果等价于逻辑 Z̄，症候为 (+1,+1)，与无错完全混淆，因此不可纠正。
• 错误模型匹配：该码针对的是独立相位翻转（Z 型）错误；若噪声以比特翻转为主，则应改用比特翻转码，或采用能同时处理两类错误的 Shor 码等复合结构。

最后给出一个可操作的验证思路（示例参数，非实测）：在模拟器中制备 α=1/√2、β=1/√2 的 |+⟩ 态，编码后随机施加 Z₁，测量稳定子应得到 (−1,+1)；施加恢复 Z₁ 后再次测量应回到 (+1,+1)，并对三个比特做 H 后测量，统计结果应恢复为 |000⟩ 与 |111⟩ 各约一半。若把错误改为 Z₁Z₂，症候仍为 (+1,+1)，恢复逻辑失效，这一对比恰好印证了上面的可纠正条件。