4. 单模压缩态的数学表示

单模压缩态是连续变量量子信息中最基础的非经典态之一。要真正在仿真中“造出”它，必须先把算符语言翻译成可计算的数值形式。本节从压缩算符的定义出发，推导它在福克基下的展开式，然后给出可直接运行的数值构造代码，并用归一性、光子数分布和压缩量三条线索验证结果是否正确。

一、压缩算符与福克基展开的推导

单模压缩算符定义为

S(ξ) = exp[ (ξ* a² − ξ a†²) / 2 ]，其中 ξ = r e^{iθ} 为复压缩参数，r ≥ 0 为压缩幅度，θ 为压缩角。

取 θ = 0（即实压缩参数 ξ = r）作为推导起点，此时 S(r) = exp[ r(a² − a†²)/2 ]。直接对指数展开并不方便，更有效的办法是利用压缩算符对产生湮灭算符的变换关系：

S†(r) a S(r) = a cosh r − a† sinh r，S†(r) a† S(r) = a† cosh r − a sinh r。

由此可推出压缩态 |ξ⟩ = S(ξ)|0⟩ 在福克基下的展开。对 θ = 0 的情形，展开式只含偶数光子数项：

|r⟩ = (1/√cosh r) Σ_{n=0}^{∞} [ (√(2n)! / (2^n n!)) (tanh r)^n ] |2n⟩。

这个式子有三个关键特征值得注意。第一，只有偶数光子数项，因为压缩算符成对产生光子，宇称守恒。第二，系数随 n 增大按 (tanh r)^n 衰减，r 越大衰减越慢，高阶项权重上升，平均光子数随之增加。第三，归一化因子 1/√cosh r 保证总概率为 1，这正是数值验证的抓手。

当 θ ≠ 0 时，展开系数变为复数，相位因子 e^{iθ} 进入每一项，但模长结构与 θ = 0 相同。仿真中通常先构造 θ = 0 的实压缩态，再通过相位旋转算符 e^{−iθ a†a} 作用得到任意压缩角，这样数值实现更简洁。

二、数值构造：从公式到代码

把展开式写成代码，核心是三件事：算系数、处理截断、加入相位。下面用 Python 与 NumPy 实现，截断维数取 N（即保留 |0⟩ 到 |N⟩ 共 N+1 个基矢）。

import numpy as np
from math import factorial, sqrt, cosh, tanh

def squeezed_state(r, theta=0.0, N=60):
    """构造单模压缩态在福克基下的数值态矢。
    r: 压缩幅度; theta: 压缩角; N: 截断维数(保留 0..N)"""
    psi = np.zeros(N + 1, dtype=complex)
    norm = 1.0 / sqrt(cosh(r))
    for n in range(0, N // 2 + 1):
        m = 2 * n
        coeff = sqrt(factorial(m)) / (2**n * factorial(n))
        psi[m] = norm * coeff * (tanh(r) ** n)
    # 相位旋转 e^{-i theta a^dag a}
    phases = np.exp(-1j * theta * np.arange(N + 1))
    return psi * phases

# 示例参数
r, theta, N = 1.0, 0.0, 60
psi = squeezed_state(r, theta, N)
print("归一化:", np.vdot(psi, psi).real)
print("平均光子数:", np.sum(np.arange(N+1) * np.abs(psi)**2))
print("理论 sinh^2(r):", np.sinh(r)**2)

这段代码有两个实现细节需要说明。其一，循环只遍历 n 到 N//2，因为奇数项系数恒为零，直接跳过可省一半计算。其二，相位旋转用对角算符 e^{−iθn} 逐项相乘实现，避免了显式构造大矩阵。截断维数 N 的选取不是随意的：当 r 较大时，tanh r 接近 1，系数衰减变慢，若 N 太小，被截掉的高阶项会带走可观概率，归一化检查就会明显偏离 1。

三、验证归一性与物理量

运行上述示例（r = 1.0，N = 60），归一化结果应非常接近 1，平均光子数应接近 sinh²(1) ≈ 1.381。若把 N 降到 10 再跑一次，会看到归一化降到 0.99 以下，这就是截断误差的直接体现。因此验证流程建议按以下顺序进行：

1. 归一性检查：计算 Σ|c_n|²，与 1 的偏差应小于 1e−10（N 足够大时）。
2. 宇称检查：奇数项系数应严格为零，可打印 |c_1|、|c_3| 确认。
3. 平均光子数检查：⟨n⟩ 与 sinh²r 对比，偏差反映截断是否充分。
4. 压缩判据检查：计算正交分量方差，验证某一分量方差低于真空噪声 1/2。

正交分量方差可用矩阵方法计算。定义 x = (a + a†)/√2，p = (a − a†)/(i√2)，在截断基下构造 a 的矩阵（次对角元为 √(n+1)），再求 ⟨x²⟩ − ⟨x⟩²。对 θ = 0 的压缩态，x 分量方差应为 e^{−2r}/2，p 分量方差为 e^{2r}/2，两者乘积恒为 1/4，这正是最小不确定态的特征。当 r = 1 时，x 方差约 0.0677，p 方差约 3.694，前者明显低于 0.5 的真空噪声，压缩得到确认。

四、常见错误与排查

数值构造中最容易出错的地方有三处。第一，把归一化因子 1/√cosh r 漏乘，导致范数偏大，此时归一化结果会等于 cosh r 而非 1，很容易识别。第二，系数公式中 (2n)! 的平方根与 2ⁿn! 的位置写反，会使高阶项权重异常放大，表现为平均光子数远超 sinh²r。第三，相位旋转符号写反（用 e^{+iθn} 而非 e^{−iθn}），这不影响归一性和光子数分布，但会使压缩角方向相反，在后续干涉或测量仿真中造成系统性偏差。排查时建议固定 r、扫描 θ，观察 x 分量方差随 θ 的周期变化是否与理论一致。