3. 压缩态的定义与物理图像

在连续变量量子信息中，压缩态是最具代表性的非经典资源之一。要真正理解它，不能只停留在“噪声被压低了”这句话上，而应同时把握三件事：压缩算符如何作用于真空、压缩参数如何改变正交分量的涨落、以及这种改变在相空间中呈现为什么样的几何形状。本节围绕这三点展开，并给出可用于仿真的参数化描述。

压缩算符：从哈密顿量到幺正演化

单模压缩算符定义为

S(ξ) = exp[ (ξ* a² − ξ a†²) / 2 ]，  ξ = r e^{iθ}

其中 a、a† 为湮灭与产生算符，r ≥ 0 为压缩幅度，θ 为压缩角。它的物理来源是一个简并参量下转换型的有效哈密顿量 H = iℏ(ξ* a² − ξ a†²)/2，在相互作用时间内演化即得 S(ξ)。注意算符中出现的是 a² 与 a†²，即光子成对产生或湮灭，这正是压缩态“光子数成对关联”的根源，也解释了为什么压缩态只含偶数光子数成分。

压缩算符是幺正的，因此它保持对易关系 [x, p] = i 不变，这一点非常关键：压缩不是把不确定性“消灭”，而是在两个共轭分量之间重新分配。定义无量纲正交分量

x̂ = (a + a†)/√2，  p̂ = (a − a†)/(i√2)，  [x̂, p̂] = i

则真空态下 ⟨Δx̂²⟩ = ⟨Δp̂²⟩ = 1/2，乘积取最小值 1/4。压缩态在 θ = 0 时给出

⟨Δx̂²⟩ = (1/2) e^{−2r}，  ⟨Δp̂²⟩ = (1/2) e^{2r}

可见一个分量被指数压低，另一个被指数放大，乘积恒为 1/4，仍是最小不确定态。当 θ ≠ 0 时，压缩椭圆的轴相对 x–p 坐标旋转 θ/2，两个分量的方差变为

⟨Δx̂²⟩ = (1/2)[cosh2r − sinh2r·cosθ]
⟨Δp̂²⟩ = (1/2)[cosh2r + sinh2r·cosθ]

这组式子说明：压缩角决定“压哪个方向”，压缩幅度决定“压多深”。在仿真中，通常以 r 和 θ 作为两个独立输入参数，再由此计算协方差矩阵，这是后续所有数值实验的起点。

相空间图示：从圆到椭圆

把真空态画在相空间里，其 Wigner 函数是一个各向同性的高斯圆斑，宽度对应 1/2 的方差。经过 S(r) 作用后，圆斑沿一个方向被挤扁、沿正交方向被拉长，成为椭圆，但面积不变——这正是幺正变换保持相空间体积的体现。下图给出真空态与压缩态在相空间中的对比，以及压缩算符对正交分量涨落的作用关系。

读图时要注意两点。第一，椭圆的面积与真空圆斑相同，说明压缩是“重分配”而非“增删”不确定性；第二，被压扁的方向对应噪声低于散粒噪声极限，这正是压缩态能提升干涉仪灵敏度、实现量子增强测量的物理基础。若 θ 从 0 变到 π，椭圆主轴旋转 π/2，被压缩的分量从 x̂ 换成 p̂，仿真中可通过扫描 θ 观察这一旋转。

仿真中的参数化与结果判读

在数值仿真里，压缩态通常用协方差矩阵描述。以 θ = 0 为例，协方差矩阵为对角形式

V = [[ (1/2)e^{−2r},      0      ],
     [      0,      (1/2)e^{2r} ]]

一般 θ 下则需在旋转基下计算再变换回原基。一个可操作的仿真流程是：设定 r（例如 0.5、1.0、1.5）与 θ（0、π/4、π/2），计算 V，再绘制 Wigner 函数等高线或直接输出两个分量的方差。判读标准很直接：若某一分量的方差小于 0.5（即低于真空噪声），就说明该分量被压缩；同时检查两分量方差乘积是否等于 0.25，以验证数值实现没有引入额外噪声或误差。

需要强调的是，压缩态的“压缩”是相对于真空噪声而言的，且只在特定 quadrature 上成立。实际仿真中还常引入损耗：经过透射率 η 的信道后，协方差变为 V' = ηV + (1−η)·(1/2)I，压缩度被稀释。把这一项加入模型，就能观察 r 增大与 η 下降之间的竞争关系，这也是判断仿真模型是否贴近实际的重要环节。

综上，压缩算符给出成对光子作用的幺正演化，压缩参数 (r, θ) 分别控制压缩深度与方向，正交分量涨落在保持最小不确定乘积的前提下被重新分配，而相空间中的圆变椭圆则把这一切直观地呈现出来。掌握这四者的对应关系，就为后续压缩态制备、探测与应用的仿真打下了基础。