3. 背景噪声的量化指标体系
在单光子系统里，“背景噪声”并不是一个孤立的数字，而是一组相互牵制的探测器与链路参数共同塑造的结果。要做出可信的噪声预算，第一步不是急着把各项噪声相加，而是把每个指标定义清楚、量纲统一、测试条件对齐。本节围绕五个核心指标展开：暗计数率（DCR）、后脉冲概率（PAP）、死时间（τd）、探测效率（η）、时间抖动（jitter），并说明它们如何耦合进最终的噪声预算。
一、五个指标的定义与量纲
暗计数率指无光输入时探测器单位时间输出的计数，常用 cps（每秒计数）表示。工程上更关注“每门每像素”或“每纳秒”的暗计数，因为它直接决定门控窗口内的暗计数概率。若 DCR 为 1000 cps，门宽 1 ns，则单门暗计数概率约为 1×10-6，这个换算在预算中非常关键。
后脉冲概率指一次真实探测后，在紧随其后的时间窗内出现虚假计数的条件概率，通常以百分比或每门概率给出。它与探测器材料缺陷、恢复过程相关，且随死时间设置和过偏压变化。后脉冲是“有信号才产生”的噪声，因此在强信号或高计数率场景下会被显著放大。
死时间是探测器在一次雪崩后被抑制、无法响应新光子的时间长度，分非扩展型与扩展型。它一方面限制最大计数率，另一方面通过“活时间比例”改变有效探测效率，还会影响后脉冲的观测窗口。
探测效率是入射光子被成功探测的概率，包含耦合效率、量子效率与雪崩触发概率。它同时作用于信号与背景光，因此对噪声预算的影响是“双向”的：提高 η 会提升信号，也会提升背景光引入的噪声。
时间抖动是探测输出时刻相对真实光子到达时刻的统计展宽，常用 FWHM 或 σ 表示。它决定了符合窗口、门控窗口与时间滤波的宽度，而窗口越宽，纳入的暗计数与背景光就越多。
二、耦合关系：指标不是并列，而是相乘与反馈
把五个指标放进同一条链路，可以看到明显的耦合结构。时间抖动与门宽共同决定“时间窗口”；暗计数率与窗口宽度相乘得到窗口内暗计数；探测效率缩放信号与背景光；死时间通过活时间比例修正所有计数率；后脉冲则在每次探测后追加一份与计数率成正比的额外噪声。下图给出这一耦合关系的结构化表达。
图中最值得注意的是两条反馈路径。第一条是死时间对有效计数率的压缩：当入射计数率 R 接近 1/τd 时，Reff 趋于饱和，后脉冲的绝对数量不再随光强线性增长，但单次探测后的条件概率并未下降。第二条是后脉冲对计数率的正反馈：后脉冲本身也是计数，会进一步占用死时间、抬高总计数率，形成轻微的自增强。做预算时若忽略这条反馈，在高计数率下会低估噪声。
三、把指标折算到同一“窗口”上
五个指标量纲不同，直接相加没有意义。工程上的做法是统一折算到“每次探测事件”或“每个门控窗口”上。以门控单光子探测为例，设门宽 Tg=1 ns，时间抖动 σ=50 ps，取 ±3σ 作为时间筛选窗，则有效窗口 W≈1 ns+6×50 ps=1.3 ns。若 DCR=200 cps，则单门暗计数概率 Pdark=200×1.3×10-9≈2.6×10-7。这个数值才是可以与其他概率项相加的量。
后脉冲项则要写成 Pafter=PAP×Pdetect，其中 Pdetect 是单门内发生真实探测的概率。若每门信号探测概率为 0.1、PAP=3%，则后脉冲贡献约 3×10-3，比暗计数高四个数量级——这说明在中等信号强度下，后脉冲往往是门控探测的主要噪声项，而不是暗计数。
四、示例：一组可复算的预算表
下面给出一组明确标注为教学假设的参数，用于演示折算与相加过程，并非实测结果。假设工作条件为：门宽 1 ns、抖动 σ=60 ps、DCR=500 cps、η=25%、τd=20 ns、PAP=2%、每门信号探测概率 0.05、背景光在窗口内的探测概率 1×10-4。
| 噪声项 | 折算公式 | 代入 | 单门概率 |
|---|---|---|---|
| 暗计数 | DCR·W | 500×(1+6×0.06)×10-9 | ≈6.8×10-7 |
| 后脉冲 | PAP·Pdetect | 0.02×0.05 | 1.0×10-3 |
| 背景光 | η·Pbg,in | 0.25×4×10-4 | 1.0×10-4 |
| 合计 | 三项相加 | — | ≈1.1×10-3 |
从表中可以读出两个判断：其一，后脉冲占比约 90%，是当前工作点的主导噪声；其二，暗计数虽小，但若把门宽放宽到 10 ns，暗计数会上升一个数量级，届时需重新评估。死时间在此例中影响较小，因为每门探测概率仅 0.05，远未接近饱和；但若把信号概率提高到 0.3，R·τd 项就不可忽略，必须用 Reff=R/(1+R·τd) 修正后再算后脉冲。
五、指标之间的权衡与选型含义
这五个指标并非都能同时优化。降低死时间可以提升计数率上限，但会缩短后脉冲的观测窗口、也可能提高后脉冲被计入的概率；提高探测效率能改善信噪比，但同时放大背景光噪声；减小时间抖动可以收窄窗口、压低暗计数与背景光，却对探测器与读出电路提出更高要求。因此噪声预算的结论不应是“某项越小越好”，而应是在给定信号率、背景光水平和时间窗口约束下，找到使总噪声概率与信号概率之比最优的工作点。
实际执行时，建议按以下顺序推进：先固定时间窗口定义并算出 W；再用 DCR 与 W 得到暗计数项；随后用信号探测概率与 PAP 得到后脉冲项；接着用 η 与背景光输入得到背景光项；最后检查总计数率是否已接近 1/τd，若接近则回到第二步用 Reff 迭代一次。这个顺序保证了每一项都建立在同一套窗口与计数率条件上，避免量纲与条件错配。