2. Rabi振荡的物理图像与数学描述

要理解Rabi振荡测量为什么能用来标定控制幅度，必须先把“驱动场如何改变二能级系统布居”这件事讲清楚。量子比特在理想情况下可近似为一个二能级系统：基态 |0⟩ 与激发态 |1⟩，能级差对应角频率 ω₀。当我们施加一个频率为 ω 的驱动场（例如微波或激光），系统不再停留在本征态上，而是在两个能级之间周期性交换布居，这就是Rabi振荡。它是幅度标定最直接的物理基础：振荡的快慢由驱动强度决定，因此“测频率”就等价于“测幅度”。

从哈密顿量到Rabi频率

在旋转坐标系下，并采用旋转波近似（RWA），二能级系统的有效哈密顿量可写为：

H = (ħ/2) · [ Δ·σz + Ω·σx ]

其中：
Δ = ω₀ − ω   为失谐量（驱动频率偏离共振的程度）
Ω = μ·B₁/ħ   为Rabi频率（与驱动场幅度 B₁ 成正比）
σx, σz      为泡利矩阵

这里最关键的一条关系是 Ω ∝ 驱动幅度。以电偶极近似为例，耦合强度正比于 μ·B₁（μ 为跃迁偶极矩，B₁ 为驱动场幅度），因此 Ω = μB₁/ħ。对超导量子比特，驱动幅度通常以任意单位（a.u.）或DAC偏置量给出，但只要系统工作在线性响应区，Ω 与设定幅度 A 之间就满足 Ω = k·A，比例系数 k 正是我们要标定的对象。这就是“幅度标定”的物理根基：先测出 Ω，再由 Ω/A 反推 k。

共振条件下的振荡行为

当 Δ = 0（严格共振）时，哈密顿量只剩 Ω·σx 项，演化极其干净。若系统初始处于 |0⟩，则 t 时刻处于 |1⟩ 的概率为：

P₁(t) = sin²(Ω·t / 2) = (1 − cos Ωt) / 2

布居在 |0⟩ 与 |1⟩ 之间以角频率 Ω 完整往复：t = 0 时全在 |0⟩，t = π/Ω 时完全翻转到 |1⟩（即一个 π 脉冲），t = 2π/Ω 时回到 |0⟩（一个 2π 脉冲）。注意振荡周期 T = 2π/Ω，所以 Ω 越大，翻转越快。实验中我们固定驱动幅度、扫描脉冲时长 τ，测 P₁(τ) 得到一条正弦平方曲线，拟合出振荡频率即可得到 Ω。这条曲线的第一个峰位对应 π 脉冲时长，是后续门操作标定的直接依据。

失谐条件下的振荡：广义Rabi频率

当 Δ ≠ 0 时，驱动不再“对准”能级差，布居转移被削弱，振荡变快但幅度变小。此时定义广义Rabi频率：

Ω_R = √(Δ² + Ω²)

P₁(t) = (Ω² / Ω_R²) · sin²(Ω_R·t / 2)

可以看到两个效应：其一，振荡频率由 Ω 变为 Ω_R，失谐越大振荡越快；其二，振幅被因子 Ω²/Ω_R² 压缩，当 |Δ| ≫ Ω 时振幅趋近于零，布居几乎无法翻转。这解释了为什么幅度标定必须在接近共振的条件下进行——失谐会同时污染频率与振幅的读数。反过来，若已知 Ω 并扫描驱动频率，通过振幅随 Δ 的下降曲线（洛伦兹型）可以反推失谐，这也是校准驱动频率的常用手段。

把物理图像落到标定上

上述关系给出了一条清晰的标定路径。设驱动幅度设定值为 A（例如DAC码值或射频源功率对应的幅度单位），在共振条件下测得振荡频率 Ω_meas，则比例系数 k = Ω_meas / A。之后任意给定目标Rabi频率 Ω_target，所需幅度即为 A_target = Ω_target / k。若希望实现一个 π 脉冲，其时长 τ_π = π / Ω_target，与幅度设定一一对应。这就是“幅度—频率—脉宽”三者的换算闭环。

实际操作中需要注意几点。第一，线性区检验：Ω 与 A 的正比关系只在驱动未使系统饱和或进入非线性时成立，应至少在两个不同幅度下各测一次 Ω，确认比值稳定后再外推。第二，失谐修正：若驱动频率未精确对准 ω₀，测得的频率是 Ω_R 而非 Ω，需用 Ω = √(Ω_R² − Δ²) 修正，否则会系统性高估幅度。第三，采样与拟合：扫描时长应覆盖至少两到三个完整振荡周期，采样点足够密以分辨峰位；拟合时把振幅、频率、相位、偏置一并作为自由参数，避免固定偏置引入偏差。第四，退相干影响：真实系统存在弛豫与退相干，振荡会逐渐衰减，拟合模型应加入指数衰减包络 e^(−τ/T₂*)，否则频率估计会被衰减拖偏。

总结来看，Rabi振荡把“驱动幅度”这一难以直接读出的量，转化成了“振荡频率”这一可精确拟合的量。共振时 P₁(τ) = sin²(Ωτ/2)，失谐时频率变为 Ω_R = √(Δ²+Ω²) 且振幅被压缩。理解这两条曲线，就理解了幅度标定为什么可行、在什么条件下可靠，以及误差会从哪些环节进入。