4. 拟合问题的数学表述

在量子控制实验中，我们经常面对这样一类任务：通过改变控制脉冲的幅度、相位、持续时间或调制频率，测量系统在不同参数下的响应（如保真度、布居数、相干时间、泄漏率等），然后希望用一个数学表达式描述“控制参数—实验响应”之间的关系。这个从离散测量点反推连续关系的过程，就是拟合。要把拟合做对，第一步不是打开软件点“拟合”按钮，而是把问题写成清晰的数学形式：选什么模型、优化什么目标、受什么约束、如何判断结果可信。本节围绕这四个要素展开。

一、参数化模型：把物理假设写成含参函数

拟合的起点是参数化模型 y = f(x; θ)，其中 x 是可控自变量（如脉冲幅度），θ = (θ₁, θ₂, …, θ_p) 是待定参数。量子控制中常见的模型有三类：

• 物理机理模型：由哈密顿量或主方程推导得到。例如拉比振荡的布居数 P(t) = A·sin²(πf_Rt) + B，参数 A（振幅）、f_R（拉比频率）、B（基线）都有明确物理含义。
• 经验衰减模型：如退相干曲线 P(τ) = a·exp[−(τ/T₂*)^n] + c，其中指数 n 反映噪声谱类型（n=1 为白噪声，n=2 为高斯型 1/f 噪声）。
• 多项式或样条模型：当缺乏明确机理、只关心局部趋势时使用，但参数缺乏物理意义，外推风险大。

模型选择直接决定拟合的上限。若真实响应含非指数成分而强行用单指数拟合，残差会呈现系统性弯曲，此时再好的优化算法也无法补救。因此建模时应先画散点图、观察曲线形状与渐近行为，再决定函数形式。

二、目标函数：最小二乘与极大似然

有了模型，需要定义“拟合得好”的量化标准。设第 i 个测量点为 (x_i, y_i)，模型预测为 f(x_i; θ)，残差 r_i = y_i − f(x_i; θ)。

最小二乘（LS）取目标函数 J(θ) = Σ r_i²。它等价于假设测量噪声为零均值、等方差的高斯分布。若各点噪声水平不同（例如高保真度区域计数噪声更大），应使用加权最小二乘 J = Σ w_ir_i²，权重 w_i = 1/σ_i²，σ_i 为该点测量标准差。

极大似然（MLE）更一般：假设 y_i 服从某分布 p(y | f(x_i; θ), σ)，最大化对数似然 Σ ln p。当噪声为高斯时，MLE 退化为加权最小二乘；当测量是量子比特的 0/1 计数时，应使用二项分布似然，此时 LS 会有偏，MLE 更合适。实际实验中若每个参数点重复采样 N 次、成功次数为 k，二项似然为 ln L = Σ [k_i ln p_i + (N_i−k_i) ln(1−p_i)]，其中 p_i = f(x_i; θ)。

三、约束条件：让参数落在物理允许范围内

无约束优化可能给出物理上荒谬的解，例如负的衰减时间、大于 1 的布居数振幅、负的拉比频率。约束分两类：

• 边界约束：θ_min ≤ θ ≤ θ_max。如 A ∈ [0, 1]、T₂* > 0、n ∈ [0.5, 3]。
• 等式/不等式约束：如要求基线 B 等于独立标定的读出偏置，或要求两个脉冲的幅度满足 A₁ + A₂ = A_total。

实现上，可用带边界的信赖域反射算法（如 scipy 的 least_squares(method='trf', bounds=(lb, ub))），或对参数做变换（如令 T₂* = e^φ 保证为正）后转为无约束问题。约束不是装饰，它把先验物理知识注入优化，能显著缩小搜索空间、避免病态解。

四、过拟合与欠拟合的判定

拟合完成不等于任务完成。必须判断模型复杂度是否与数据信息量匹配。

欠拟合的典型信号是：残差图呈现明显的系统性结构（如正弦残差、单调弯曲），决定系数 R² 偏低，且增加一个物理上合理的参数后残差平方和显著下降。例如用直线拟合拉比振荡，残差会呈周期性起伏，这就是模型形式不足。

过拟合的典型信号是：训练集残差接近噪声底，但留出集（或交叉验证折）误差明显更大；参数估计的标准误很大，置信区间跨越物理边界；残差看起来像白噪声但模型参数多达 8～10 个而数据点仅 15 个。在量子控制中，过拟合常表现为把噪声波动拟合成额外的振荡项或高阶多项式项，导致外推时保真度预测严重偏离。

实用的判定手段包括：

• 交叉验证：留出 20% 数据点不参与拟合，比较训练误差与验证误差。若验证误差比训练误差高出一个数量级以上，警惕过拟合。
• 信息准则：AIC = 2p + n ln(RSS/n)，BIC = p ln n + n ln(RSS/n)，在拟合优度与参数个数间折中，值小者优。
• 残差诊断：画残差—自变量图与残差自相关图。理想残差应零均值、同方差、无自相关；若出现趋势或周期结构，说明模型缺项。
• 参数合理性：检查 T₂* 是否为正且量级合理、振幅是否超过 1、指数 n 是否落在噪声谱允许范围。物理上不合理的参数即使残差小也应拒绝。

五、把四要素串成可执行流程

实际动手时，建议按以下顺序推进：先画散点图并依据物理机理选定 1～2 个候选模型；明确噪声类型以选择 LS 或 MLE；为每个参数设定物理边界；用带边界的优化器求解并检查收敛；最后用残差图、交叉验证与信息准则联合判定，必要时回到模型选择步骤。需要强调的是，参数的不确定度与参数值同等重要——协方差矩阵的对角线给出标准误，若某参数标准误与其估计值同量级，说明该参数未被数据有效约束，应简化模型或补充测量点。

将拟合写成“模型 + 目标 + 约束 + 判定”的完整表述，不仅能避免盲目调参，还能让实验结果具备可复现性和可比较性：别人看到你的模型形式、权重、边界和判据，就能判断你的参数估计是否可信。