1. 课程导入与实验数据全景

量子控制实验的目标，是让量子比特、量子门或量子系统按照设计意图演化。但实验真正交付给我们的，往往不是一条“理想曲线”，而是一组带有噪声、漂移、采样限制和统计波动的观测数据。拟合与评估，正是把这些原始观测转化为可判断、可比较、可迭代的控制结论的桥梁。本课程围绕“数据—模型—拟合—评估—反馈”这条主线展开，而本节先建立全景：我们面对哪些数据，拟合处在闭环的什么位置，典型工作流如何运转，以及最容易踩的坑在哪里。

三类实验数据：时域、频域与统计

量子控制实验的数据大体可分为三类，它们回答的问题不同，拟合方式也不同。

时域数据描述信号随时间的变化，典型对象包括Rabi振荡、Ramsey干涉、自旋回波衰减、门序列后的布居数演化。例如测量超导比特在驱动下的激发态布居 \(P_e(t)\)，得到一条带衰减的振荡曲线，拟合模型常写作 \(P_e(t)=A\cos(2\pi f t+\phi)e^{-t/T_2^*}+B\)。这里 \(f\) 对应驱动失谐或Rabi频率，\(T_2^*\) 反映退相干，\(A\)、\(B\) 吸收读出对比度与偏置。时域拟合的关键是采样密度与记录长度：振荡周期内至少要有若干个采样点，否则频率会被混叠；记录长度要覆盖足够多个衰减常数，否则衰减时间估计不稳。

频域数据来自对时域信号的傅里叶变换或直接频谱扫描，典型如频谱峰位、线宽、边带结构。频域拟合常关注峰中心、半高全宽和峰形（洛伦兹、高斯或Voigt）。频域的优势是把频率分量摊开，便于识别杂散驱动、边带和串扰；代价是频率分辨率受记录时长限制，加窗会改变线宽，因此拟合前必须明确窗函数与分辨率带宽。

统计类数据则来自重复测量：同一门序列执行多次，统计“0/1”结果得到概率，或做量子态层析、随机基准测试（RB）、门集层析等。此类数据的误差棒不是装饰，而是拟合权重和结论可信度的核心。例如RB衰减曲线 \(P(m)=A p^m+B\)，其中 \(p\) 与平均门错误率相关，拟合时必须把每个点的二项分布标准误纳入权重，否则少量高噪声点会主导结果。

拟合与评估在闭环控制中的位置

在量子控制中，拟合不是实验结束后的“报告环节”，而是闭环中的测量—估计环节。一个典型闭环是：设计脉冲或门序列 → 采集数据 → 拟合提取参数（如Rabi频率、失谐、退相干时间、门错误率）→ 评估参数是否落在目标区间、不确定度是否可接受 → 更新控制参数或实验方案 → 再测量。拟合质量直接决定反馈方向：若把衰减振荡的频率估偏，后续脉冲校准就会朝错误方向修正；若忽略误差棒，可能把统计涨落误判为真实漂移。

因此评估至少包含三层：拟合优度（残差是否随机、χ²是否接近自由度）、参数可信度（置信区间、协方差、是否与物理先验冲突）、决策可用性（该参数是否足以支撑下一步控制动作）。三层都通过，拟合结果才适合进入闭环。

典型工作流与实操要点

以一条Rabi振荡数据为例，实际流程通常如下：先做数据清洗，剔除明显饱和或读出失败的点；再根据物理模型设定初值，例如用FFT峰值给频率初值、用首尾均值给偏置初值；随后用带权最小二乘或最大似然拟合，权重取各点标准误的倒数平方；拟合后检查残差是否呈结构（如系统性弯曲说明模型缺项），并检查参数协方差是否过大；最后把频率、衰减时间及不确定度写入实验记录，作为下一轮脉冲时长或失谐校准的输入。

示例（合理假设，非实测）：
模型: P(t) = A*cos(2*pi*f*t + phi)*exp(-t/T2) + B
初值: f0 = 4.82 MHz (FFT峰), A0 = 0.42, B0 = 0.51, T2_0 = 6.0 us
权重: w_i = 1 / sigma_i^2, sigma_i 由重复测量二项标准误估计
评估: 残差无趋势；f 的95%置信区间 ±0.01 MHz；chi2/ndf ≈ 1.1
决策: 若 |f - f_target| < 0.02 MHz 且区间不跨目标，则接受当前驱动频率

常见陷阱

第一是过拟合：给模型加过多自由参数，残差变小但参数失去物理意义，外推时严重失真。第二是忽略误差棒：不同测量点噪声差异很大时，等权拟合会让高噪声点主导结果。第三是混叠与欠采样：时域采样不足会把高频振荡折叠成低频假象。第四是窗函数与分辨率误用：频域加窗会展宽线宽，直接拟合FWHM会高估。第五是模型与物理不符：例如把非指数衰减硬套指数模型，或忽略读出偏置导致参数系统性偏移。第六是只看R²：R²高不代表模型正确，残差中的系统结构才是更可靠的信号。