3. 参数化量子电路与损失函数

在变分量子算法（VQA）中，参数化量子电路（Parameterized Quantum Circuit, PQC）承担着“可训练模型”的角色，而损失函数则定义了“模型好坏”的度量。二者共同构成量子机器学习优化的基本对象：我们通过调整电路中的可训练参数，使损失函数在给定数据集上达到最小（或最大）。本节围绕三个问题展开：ansatz 有哪些常见结构、损失函数如何定义、优化目标如何形式化并落地。

一、ansatz 的两种基本构造思路

ansatz 是带参数的量子门序列。按参数来源可分为两类。第一类是硬件高效 ansatz（Hardware-Efficient Ansatz, HEA）：直接使用目标量子设备原生门集（如 Rx、Ry、Rz 与 CX），按层交替排列单比特旋转层与纠缠层。它的优点是深度可控、与硬件拓扑匹配、编译开销小；缺点是缺乏问题结构信息，可能落入“贫瘠高原”（barren plateau），且可解释性弱。

第二类是问题启发 ansatz（Problem-Inspired Ansatz），典型代表是量子近似优化算法中的交替算子 ansatz（如 QAOA 的 U(β)U(γ) 交替结构）和酉耦合簇 ansatz（UCC，用于量子化学）。这类 ansatz 把问题的哈密顿量或对称性编码进电路结构，参数数量更少、初值更有物理意义，但电路往往更深、对硬件连通性要求更高。

实际选择时可用一个简单判据：若任务以“在含噪中等规模设备上快速跑通”为优先，选 HEA；若任务有明确的哈密顿量、守恒量或组合优化结构，选问题启发 ansatz。下面给出一个 4 量子比特、2 层的 HEA 结构示意，其中 Ry(θ) 为可训练旋转，CX 为固定纠缠门。

二、损失函数的定义方式

损失函数把“量子电路的输出”映射为一个可比较的实数。常见有三类定义。

（1）期望值型损失。设电路输出态为 |ψ(θ)⟩，可观测量为 H，则 L(θ) = ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩。这在 VQE 中用于求基态能量，优化目标是最小化 L。若 H 是问题哈密顿量，则 L 的物理含义就是能量。

（2）经验风险型损失。给定训练集 {(x_i, y_i)}，对每个样本制备输入态 |φ(x_i)⟩，经 ansatz 得到输出，再测量可观测量 O 得到预测值 ŷ_i = ⟨φ(x_i)|U†(θ) O U(θ)|φ(x_i)⟩，损失为 L(θ) = (1/N) Σ_i ℓ(ŷ_i, y_i)，其中 ℓ 可取均方误差或交叉熵。这是量子分类与回归的标准形式。

（3）保真度型损失。当目标是一个已知目标态 |ψ_target⟩ 时，可用 L(θ) = 1 − |⟨ψ_target|ψ(θ)⟩|²，优化目标是最小化 L，即最大化保真度。它常用于态制备与量子编译任务。

三类损失在实现上的共同点是：都需要把量子期望值估计为有限次测量的样本均值。若单次测量得到 m 个比特串，估计 ⟨O⟩ ≈ (1/S) Σ_s o_s，则估计误差按 1/√S 衰减。这意味着损失函数本身带有统计噪声，优化器看到的不是光滑曲面，而是带噪曲面——这是量子优化区别于经典优化的关键工程事实。

三、优化目标的形式化与参数化落地

优化目标可统一写为

θ* = argmin_θ  L(θ) = argmin_θ  (1/N) Σ_i ℓ( ⟨φ(x_i)|U†(θ) O U(θ)|φ(x_i)⟩ , y_i )

其中 θ ∈ R^P，P 为可训练参数个数。对 HEA，P 通常等于“层数 × 量子比特数 × 每层旋转门数”；对 UCC，P 由所选激发算子数量决定。参数越多，表达能力越强，但优化难度与过拟合风险也上升。

一个可执行的教学示例：4 量子比特、2 层 HEA，每层每比特一个 Ry，则 P = 4 × 2 = 8。设任务为二分类，测量 q0 的 Z 期望作为预测值，损失取均方误差。初始化可取 θ ~ Uniform(−0.1, 0.1) 的小随机值，避免初始梯度消失；优化器选 Adam，学习率 0.05，每次参数更新前用 S = 1024 次测量估计每个期望值。若损失在连续 20 次迭代中下降幅度小于 1e-3，可判定收敛或陷入平台，此时应检查梯度方差是否过小（贫瘠高原征兆），再决定增加层数、更换纠缠拓扑或改用局部可观测量。

四、优化目标与 ansatz 选择的联动

损失函数与 ansatz 不是独立选择。若损失依赖全局可观测量（如全比特 ZZ…Z），梯度会随比特数指数衰减，应优先选用局部可观测量或分层测量策略；若损失是保真度型，则 ansatz 需具备制备目标态所在子空间的能力，否则再好的优化器也无法弥补表达力不足。实践中常见的判断顺序是：先由任务确定损失类型，再由损失所需的测量与对称性反推 ansatz 结构，最后用参数数量与电路深度做工程折中。

综上，ansatz 决定“模型能表示什么”，损失函数决定“模型被评价为什么”，优化目标则把二者统一为一个带噪的最小化问题。理解这三者的联动关系，是后续学习梯度估计方法（参数移位规则、有限差分、伴随法）与优化策略（SPSA、自然梯度、贫瘠高原缓解）的直接前提。