2. 量子机器学习基础回顾

在进入梯度估计与优化之前，需要先把量子机器学习所依赖的四个基本对象重新对齐：量子态如何表示、量子门如何改变状态、测量如何把量子信息转成经典数值、变分量子电路如何把这三者组织成一个可训练的计算图。本节不追求量子计算的完整形式化，而是围绕“一个含参电路如何产生可优化的标量输出”这条主线，把后续梯度估计所需的记号与直觉建立起来。

量子态：从态矢量到可观测量期望

一个 n 量子比特的纯态写成计算基的线性组合：

|ψ⟩ = Σ_x α_x |x⟩,   x ∈ {0,1}^n,   Σ_x |α_x|² = 1

其中 α_x 是复数振幅，|α_x|² 是测量得到比特串 x 的概率。单比特情形下，常用布洛赫球表示 |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩，θ 与 φ 分别对应极角与方位角。这个参数化在变分电路中非常常见：一个受控旋转门的参数，本质上就是在某个轴上改变布洛赫向量的朝向。

机器学习任务关心的通常不是振幅本身，而是某个可观测量 O 的期望值 ⟨ψ|O|ψ⟩。例如用 Pauli-Z 测量单比特时，期望值等于 P(0) − P(1)，取值范围为 [−1, 1]。若把多个 Pauli 项的加权和作为哈密顿量 H，则目标量是 ⟨H⟩ = Σ_k c_k ⟨P_k⟩，这正是变分量子本征求解（VQE）与许多量子分类器的损失函数来源。需要强调的是：期望值不是一次测量得到的，而是对大量采样结果做统计平均的估计，这一点直接决定了后续梯度估计的采样成本与噪声特性。

量子门：状态演化的基本构件

量子门是作用在态空间上的酉变换 U，满足 U†U = I，因此演化保持归一化。按作用范围可分为单比特门与多比特门。单比特门中，Pauli 门 X、Y、Z 分别对应绕 x、y、z 轴旋转 π；Hadamard 门 H 把 |0⟩ 变为 (|0⟩+|1⟩)/√2，是制备叠加态最常用的工具。含参旋转门是变分电路的核心：

R_x(θ) = exp(−i θ X / 2)
R_y(θ) = exp(−i θ Y / 2)
R_z(θ) = exp(−i θ Z / 2)

以 R_y(θ) 作用在 |0⟩ 上为例，得到 cos(θ/2)|0⟩ + sin(θ/2)|1⟩，测量 Z 的期望值为 cos θ。这个简单关系说明：参数 θ 与可观测期望之间通常是非线性函数关系，梯度 ∂⟨Z⟩/∂θ = −sin θ 在 θ = 0 处为零，这正是后面会遇到“梯度消失/贫瘠高原”问题的微观来源之一。

多比特门负责制造纠缠。CNOT 以控制比特为条件翻转目标比特，是构建纠缠态的基本门；在硬件上它常被分解为若干单比特门与受控相位门。变分电路中的纠缠层通常由 CNOT 或 CZ 按特定拓扑（链状、环形、全连接）排布，其连接方式会显著影响电路的表达能力和可训练性。

测量：量子到经典的唯一出口

测量把量子态投影到某个测量基上，得到经典比特串。若在计算基下测量，得到 x 的概率为 |α_x|²。要估计 ⟨O⟩，标准做法是把 O 分解为 Pauli 字符串之和，对每一项在相应基下测量：测 X 时在测量前加 H 门，测 Y 时加 S†H 门，测 Z 时直接测量。设某项 Pauli 字符串需要 M 次采样（shots），则估计方差约为 (1 − ⟨P⟩²)/M，标准误差按 1/√M 衰减。

这带来两个实践要点。第一，精度提升一个数量级需要约 100 倍采样，因此梯度估计的采样预算必须提前规划。第二，同一组基下的多个 Pauli 项可以共享采样（例如对易的 Pauli 项分组测量），这是降低测量成本的标准手段。此外，有限采样带来的统计噪声会让梯度估计出现偏差与抖动，在优化中表现为参数更新方向不稳定，需要在学习率与采样数之间做权衡。

变分量子电路：可训练的计算图

变分量子电路（VQC）的一般形式是：先制备一个固定的初始态（通常是 |0⟩^⊗n 经 Hadamard 层得到的均匀叠加），然后交替堆叠含参旋转层与纠缠层，最后对指定可观测量测量。数学上写成：

|ψ(θ)⟩ = U_L(θ_L) ··· U_2(θ_2) U_1(θ_1) |ψ_0⟩
L(θ) = ⟨ψ(θ)| H |ψ(θ)⟩

其中每个 U_i 由若干单比特旋转和固定纠缠门组成，θ 是所有旋转角拼成的实向量。训练目标是最小化 L(θ)。由于 L 是 θ 的三角函数组合，它关于每个参数都是光滑且周期的，这为基于参数移位规则的解析梯度提供了基础——这正是下一节的核心内容。

下面这张图给出一个典型的 3 比特变分电路结构：初始态制备、两层含参旋转与纠缠、以及末端的测量与期望值估计，同时标出了参数向量与损失函数的对应关系。

一个可复现的小例子

考虑单比特电路：初态 |0⟩，施加 R_y(θ)，测量 Z。解析期望为 ⟨Z⟩ = cos θ。若取 θ = π/3，则理论值 0.5。用 1000 次采样估计，得到 0 的次数约 750、1 的次数约 250，估计值约 0.5，标准误差约 √((1−0.25)/1000) ≈ 0.027。若把采样数降到 100，标准误差升到约 0.087，优化时参数更新会明显抖动。这个例子说明：测量采样数直接决定梯度信号的可用信噪比，在后续设计梯度估计方案时必须与优化步长一起考虑。

再看一个两比特例子：初态 |00⟩，先对 q0 施加 H，再以 q0 控制对 q1 施加 CNOT，得到贝尔态 (|00⟩+|11⟩)/√2。此时测量 Z₀Z₁ 的期望值为 1（两比特总是相同），而单独测量 Z₀ 的期望值为 0。这说明纠缠会改变联合可观测量的统计行为，也解释了为什么变分电路中的纠缠层能够扩展可表达的函数族——它让损失函数不再只是各比特期望的简单相加。

从基础对象到可训练模型

把上述四件事串起来，一个量子机器学习模型的最小闭环是：用参数化电路制备 |ψ(θ)⟩，对可观测量采样估计 L(θ)，再把 L(θ) 交给经典优化器更新 θ。这里有两个容易被忽略的工程细节。其一，参数初始化会显著影响可训练性：若所有旋转角初始化为 0，某些纠缠层后的梯度可能整体偏小；常用做法是小幅随机初始化或采用特定的初始化策略。其二，测量分组与采样预算需要在电路设计阶段就确定，因为同一损失函数的不同 Pauli 分解方式会导致不同的测量开销。