3. 量子线路与编程入门
量子机器学习的所有算法，最终都要落到一条可执行、可测量、可重复的量子线路上。理解量子线路模型，是后续阅读变分量子线路（VQC）、量子核方法、量子神经网络等结构的前提。本节从线路模型的基本约定出发，讲清常用量子门的作用与矩阵形式，再通过一个可手算的简单线路，把“画图—模拟—读结果”这条链路走通。
一、量子线路模型的基本约定
量子线路模型把计算过程描述为：若干量子比特从初态出发，依次经过一系列量子门（酉变换），最后在指定比特上进行测量得到经典结果。它有三条必须牢记的约定：
- 时间从左向右：横线代表量子比特的“导线”，从左到右表示时间推进，最左侧是初态，最右侧是测量。
- 默认初态为 |0⟩：每个量子比特初始化为 |0⟩，多比特系统的初态是张量积 |0⟩⊗|0⟩⊗…。
- 门是酉变换，测量不可逆：除测量外，所有门都可用酉矩阵 U 表示，满足 U†U = I；测量会把量子态坍缩为经典比特串，因此测量通常放在线路末端。
需要特别说明参照约定：本课程统一采用计算基 |0⟩=(1,0)ᵀ、|1⟩=(0,1)ᵀ，比特序按 q₀q₁…qₙ₋₁ 从左到右书写，与常见教材的“大端序”一致。后文的矩阵、模拟结果与图示均遵循这一约定，切换时不再另行说明。
二、常用量子门及其作用
单比特门中，最基础的是三个泡利门与两个相位类门。X 门相当于经典非门，把 |0⟩ 与 |1⟩ 互换；Z 门给 |1⟩ 加一个 −1 相位，不改变测量概率；H 门把 |0⟩ 变成 (|0⟩+|1⟩)/√2，是制造叠加态的核心工具。绕 Z 轴旋转的 Rz(θ) 与绕 X 轴旋转的 Rx(θ) 则提供了连续可调参数，这正是变分量子线路中“可训练参数”的来源。
两比特门中，CNOT（受控非）最关键：控制比特为 |1⟩ 时翻转目标比特，否则不变。它与 H 门配合可以制备纠缠态。下表给出常用门的矩阵与典型用途，便于对照查阅：
| 门 | 矩阵（计算基） | 典型用途 |
|---|---|---|
| X | [[0,1],[1,0]] | 比特翻转、构造 |1⟩ |
| Z | [[1,0],[0,−1]] | 相位翻转 |
| H | (1/√2)[[1,1],[1,−1]] | 制备叠加态 |
| Rz(θ) | diag(e−iθ/2, eiθ/2) | 可训练相位参数 |
| Rx(θ) | cos(θ/2)I − i sin(θ/2)X | 可训练旋转参数 |
| CNOT | 4×4 受控翻转矩阵 | 制备纠缠、条件操作 |
三、线路图绘制规范
线路图是量子编程的“通用语言”。绘制时遵循几条规范：每条横线对应一个量子比特并标注 q₀、q₁；单比特门画成带门名的方框；CNOT 用“控制点 ● + 目标 ⊕ + 竖线”表示；测量用带指针的仪表符号，双横线表示输出的经典比特。下图给出本节示例线路的结构，它同时展示了叠加、纠缠与参数化旋转三类典型操作：
四、手算一条简单线路
以图中线路为例，取 θ = π/2，逐步推导状态演化。初态为 |00⟩。
第一步，H 作用于 q₀：|00⟩ → (|0⟩+|1⟩)/√2 ⊗ |0⟩ = (|00⟩+|10⟩)/√2。
第二步，CNOT 以 q₀ 为控制、q₁ 为目标：|10⟩ 中的控制位为 1，目标位翻转，得到 (|00⟩+|11⟩)/√2，即贝尔态。此时两比特完全纠缠，单独测量任一比特都会以 1/2 概率得到 0 或 1，且两者结果必然相同。
第三步，Rz(π/2) 作用于 q₀：Rz(π/2) = diag(e−iπ/4, eiπ/4)，它只改变 |1⟩ 分量的相位，状态变为 (e−iπ/4|00⟩ + eiπ/4|11⟩)/√2。注意：相位不改变测量概率，因此测量结果仍是 |00⟩ 与 |11⟩ 各占 50%。这说明单看测量统计无法区分 θ 的取值，要提取相位信息必须引入干涉（例如在测量前再加一个 H 门），这也是量子算法设计中的常见技巧。
五、用代码模拟并验证
下面用 Qiskit 实现上述线路，并运行 1024 次采样。示例参数与结果属于教学演示，实际运行会因随机种子略有波动。
from qiskit import QuantumCircuit, transpile
from qiskit_aer import AerSimulator
qc = QuantumCircuit(2, 1)
qc.h(0) # 叠加
qc.cx(0, 1) # 纠缠
qc.rz(3.14159/2, 0) # 参数化相位
qc.measure(0, 0) # 只测 q0
sim = AerSimulator()
result = sim.run(transpile(qc, sim), shots=1024).result()
print(result.get_counts()) # 预期形如 {'0': 512, '1': 512}
运行后应观察到 '0' 与 '1' 的计数接近各半。若想验证相位确实存在，可把测量改为先加 qc.h(0) 再测量，此时 Rz 引入的相对相位会转化为可观测的概率差异，计数将随 θ 变化——这正是相位估计与变分线路中“测量基旋转”的雏形。
qc.draw('text') 检查线路结构是否符合预期，再用 Statevector.from_instruction(qc) 查看测量前的态矢量，最后才看采样计数。态矢量能直接暴露相位与幅度错误，比只看计数高效得多。掌握到这一步，你已经具备阅读和搭建基础量子线路的能力：能按约定画出线路、能写出关键门的矩阵、能对短线路手算态演化、能用模拟器验证测量统计。后续的变分量子线路，本质上就是把 Rz、Rx 这类参数门按层堆叠，再用经典优化器调整 θ，因此本节的手算与验证方法会反复用到。