2. 量子计算基础概念
要理解量子机器学习为什么可能带来优势，先要建立一套关于“量子信息如何被表示、变换和读出”的基本认知。经典比特只能处于 0 或 1，而量子比特（qubit）是一个二维复向量空间中的单位向量，通常写成
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 为复数，且 |α|² + |β|² = 1。
这里 |0⟩ 和 |1⟩ 是计算基，α、β 称为概率幅。概率幅不是概率：它可以为负、为复数，正是这种“带相位”的结构让量子态在干涉时能相互增强或抵消。|α|² 和 |β|² 才分别对应测量得到 0 和 1 的概率。理解这一点非常关键——量子算法的很多技巧，本质上是在操控概率幅的相位，让错误答案的幅值相消、正确答案的幅值相长。
叠加：不是“同时是 0 和 1”，而是基态的线性组合
叠加常被通俗描述为“同时处于 0 和 1”，更准确的说法是：量子态是计算基的线性组合，在测量前不取定某个基态。最典型的单比特叠加态是 |+⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2，测量时以各 50% 的概率得到 0 或 1。另一个常被忽视的态是 |−⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2，它的测量概率分布与 |+⟩ 完全相同，但相对相位差了一个负号。这个差别在后续经过 Hadamard 门时会产生完全不同的结果：H|+⟩ = |0⟩，H|−⟩ = |1⟩。这说明“只看测量概率”不足以描述量子态，相位是必须跟踪的信息。
多比特系统中，叠加带来的是状态空间的指数增长。n 个量子比特的联合态一般需要 2ⁿ 个概率幅来描述。例如 3 个比特的均匀叠加态 (|000⟩+|001⟩+…+|111⟩)/√8 需要 8 个幅值；到 50 个比特，描述完整态就需要约 2⁵⁰ 个复数，这正是经典计算机难以直接模拟大规模量子系统的原因，也是量子计算潜在优势的来源之一。
纠缠：无法分解为各自独立状态的联合态
如果两个量子比特的联合态可以写成 |ψ⟩₁ ⊗ |φ⟩₂ 的形式，就称它们是可分离的；否则就是纠缠的。最著名的例子是贝尔态
|Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2。
在这个态中，单独看每一个比特，测量结果都是 50% 的 0 或 1，看似随机；但两者完全关联：测第一个得到 0，第二个必为 0；测第一个得到 1，第二个必为 1。这种关联不是“事先约定好”的隐变量，而是联合态本身的结构。纠缠是量子隐形传态、超密编码、量子密钥分发以及许多量子机器学习方案的核心资源。需要强调的是，纠缠本身并不等于“更快”，它必须配合特定的门序列和测量策略才能转化为计算优势。
测量：把量子态投影到某个基上
测量是量子信息处理中唯一直接获取经典信息的环节，也是不可逆的。在计算基下测量一个比特，会以概率 |α|² 得到 0、以 |β|² 得到 1，测量后态坍缩到对应的基态。若在其它基上测量，例如在 X 基 {|+⟩, |−⟩} 上测量，则先要把态变换到该基再读取。实际量子程序通常在电路末尾统一做计算基测量，得到一串经典比特，再据此统计频率、估计期望值或判断算法是否成功。
由于单次测量只能得到一个样本，量子算法的结果往往需要多次运行（shots）来估计概率分布。例如运行 1024 次，统计得到 0 的次数约为 512 次，就与理论概率 0.5 相符。这种“采样—统计”的读取方式，决定了量子机器学习中很多任务实际上是在估计某个可观测量的期望值，而不是直接读出一个精确数值。
量子门：对概率幅做可逆的酉变换
量子门是作用在量子比特上的酉变换，满足 U†U = I，因此理论上可逆（测量除外）。常见单比特门包括：
- X 门：比特翻转，X|0⟩ = |1⟩，X|1⟩ = |0⟩，相当于经典的非门。
- H 门（Hadamard）：H|0⟩ = |+⟩，H|1⟩ = |−⟩，用于制造叠加，是把计算基转换到 X 基的关键工具。
- Z 门：保持 |0⟩ 不变，给 |1⟩ 加一个负号，Z|1⟩ = −|1⟩，用于操控相位。
- 旋转门 Rx(θ)、Ry(θ)、Rz(θ)：绕布洛赫球相应轴旋转角度 θ，是变分量子电路中可训练参数的主要载体。
两比特门中最重要的是 CNOT（受控非门）：当控制比特为 1 时翻转目标比特，否则不变。CNOT 与单比特门组合可以构造纠缠，例如从 |00⟩ 出发，先对第一个比特施加 H 得到 (|0⟩+|1⟩)/√2 ⊗ |0⟩，再以第一个比特为控制、第二个为目标施加 CNOT，就得到 (|00⟩+|11⟩)/√2，即贝尔态。这个“H + CNOT”是制备纠缠态的最小标准片段，值得牢记。
下面这张图把本节五个核心概念放在同一条信息处理链上：量子比特提供载体，叠加与纠缠描述状态结构，量子门负责变换，测量完成经典读出。图中同时标出了 H 门与 CNOT 制备贝尔态的具体路径，以及测量后坍缩与多次采样统计的关系。
把概念落到一个可执行的小例子
以制备贝尔态并测量为例，可以按下面的顺序理解每一步在做什么：
- 初始化两个比特为 |00⟩，此时联合态为 |0⟩⊗|0⟩，可分离、无纠缠。
- 对第一个比特施加 H 门，得到 (|0⟩+|1⟩)/√2 ⊗ |0⟩，第一个比特进入叠加，第二个仍为 |0⟩。
- 以第一个比特为控制、第二个为目标施加 CNOT，得到 (|00⟩+|11⟩)/√2。此时两个比特纠缠，单独测量任一比特都是 50% 的 0 或 1，但两者结果始终一致。
- 在计算基下测量两个比特，重复运行 1024 次。理论上应只出现 00 和 11 两种结果，各约 512 次；若统计中出现大量 01 或 10，说明纠缠制备或门序列有误。
这个例子给出了一个重要的判断依据：测量结果的联合分布是否符合理论预期，是检验量子电路是否正确的最直接手段。在量子机器学习中，变分电路的输出通常也是通过类似方式估计期望值，例如对某个可观测量 O 反复测量并取平均，得到 ⟨ψ|O|ψ⟩ 的近似值，再用于计算损失函数和梯度。
最后需要建立的一个认知是：量子门序列的设计，本质上是在安排概率幅的干涉路径。H 门把信息铺开到多个基态上，受控门和相位门在不同路径间引入可控的相对相位，最后的测量让这些路径的幅值相加或相消。量子算法的“聪明”之处，往往就体现在如何让错误路径相消、正确路径相长。掌握量子比特、叠加、纠缠、测量与量子门这五个概念及其相互关系，是后续理解量子线路、变分量子算法和量子机器学习模型的基本前提。