2. 单量子比特测量结果的概率分布建模与采样验证

任务拆解：从态矢量到测量统计

本案例给定一个两能级量子态，目标是建立它在计算基下测量结果的概率分布模型，再用有限次采样生成统计结果，最后与理论概率对比，观察采样数增大时的收敛行为。为避免与态矢量表示、密度矩阵等任务重叠，这里把重点放在“概率分布 + 采样 + 收敛判读”这条链上。

设量子态为 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α、β 为复数且满足 |α|² + |β|² = 1。在计算基 {|0⟩, |1⟩} 上测量时，得到结果 0 的概率为 p₀ = |α|²，得到结果 1 的概率为 p₁ = |β|²。本案例取一个具体示例态：

α = 0.6 + 0.0j
β = 0.8 + 0.0j
p₀ = |α|² = 0.36
p₁ = |β|² = 0.64

这是一个实数振幅的示例，便于手算核对；若振幅含相位，概率只取模平方，相位不影响计算基测量分布，这一点在建模时要明确。

概率分布模型与采样实现

概率分布模型的核心是一个离散分布对象：支持集为 {0, 1}，概率质量函数为 p(0)=0.36、p(1)=0.64。采样就是按该分布独立重复抽取 N 次，统计 0 和 1 的出现次数，再除以 N 得到经验频率。下面给出一个自洽、可直接运行的 Python 实现，不依赖外部量子库，只用标准库完成采样与对比。

import random
import math

# 1. 给定态矢量（示例：实数振幅）
alpha = 0.6 + 0.0j
beta  = 0.8 + 0.0j

# 2. 归一化校验
norm_sq = abs(alpha)**2 + abs(beta)**2
assert abs(norm_sq - 1.0) < 1e-12, "态矢量未归一化"

# 3. 理论概率分布
p0 = abs(alpha)**2   # 0.36
p1 = abs(beta)**2    # 0.64
probs = [p0, p1]

# 4. 按分布采样 N 次
def sample_counts(n, probs, seed=42):
    rng = random.Random(seed)
    counts = [0, 0]
    for _ in range(n):
        r = rng.random()
        if r < probs[0]:
            counts[0] += 1
        else:
            counts[1] += 1
    return counts

# 5. 多组采样数对比
for n in [100, 1000, 10000, 100000]:
    c = sample_counts(n, probs)
    f0, f1 = c[0]/n, c[1]/n
    err0, err1 = abs(f0-p0), abs(f1-p1)
    print(f"N={n:>6d}  count0={c[0]:>6d}  count1={c[1]:>6d}  "
          f"f0={f0:.4f}  f1={f1:.4f}  |Δp0|={err0:.4f}  |Δp1|={err1:.4f}")

这段代码的关键点有三处：一是先做归一化断言，防止输入态本身不合法；二是用累积概率判断随机数落在哪个区间，从而按 p₀、p₁ 抽取结果；三是固定随机种子，使结果可复现。示例输出（固定种子下的预期现象，非实测数据）大致为：N=100 时频率偏差可能在 0.05 量级，N=10000 时偏差通常降到 0.01 量级，N=100000 时进一步缩小。具体数值随种子变化，但趋势稳定。

理论分布与采样结果的对照

下图把“态矢量 → 概率分布 → 有限采样 → 频率对比”这条数据链画在一起，并标出不同采样数下经验频率向理论概率收敛的方向。图中左侧是模型构建，右侧是采样验证，中间用误差量级作为判读依据。

收敛行为的判读与验证要点

从图中可以读出三个判读要点。第一，理论概率是两条水平虚线，经验频率点应围绕它们上下波动，而不是单调逼近；有限采样下出现偏差是正常的。第二，随着 N 从 100 增大到 100000，波动幅度按 1/√N 缩小，图中两条趋势线逐渐贴近理论线，这正是“收敛”的可视化含义。第三，判读时不要只看单次偏差，而要用 σ = √(p(1−p)/N) 作为尺度：例如 N=1000 时 σ ≈ 0.015，偏差 0.03 约等于 2σ，属于正常范围；若偏差达到 0.1 以上，就应怀疑采样区间判断写反、概率未归一化或随机数源有问题。

验证时建议做两件事：一是用同一随机种子重复运行，确认结果可复现；二是把 N 按 10 倍递增，记录 |f₀ − p₀|，观察它是否大致按 1/√N 下降。若下降趋势明显偏离，说明采样实现或概率模型存在系统性错误，而不是统计涨落。

可直接复用的采样验证清单

按上述清单执行后，本案例的交付物就是一个可复现的采样脚本、一组不同 N 下的频率对照，以及基于 σ 的判读结论。它验证的是“概率分布模型 + 有限采样”这一环节的正确性与收敛性，为后续密度矩阵、布洛赫球等建模任务提供测量统计层面的基础。