1. 量子态数据建模：从狄拉克符号到可计算数组

任务对象与符号约定

本例给定一个两能级量子态（单量子比特）的狄拉克符号描述：

|ψ⟩ = (1/2)|0⟩ + (√3/2)|1⟩

目标是把它映射为可计算的数值向量，并验证归一化条件。建模前先固定三条约定，后续正文、代码与图示保持一致：

• 基矢顺序：计算基按 |0⟩、|1⟩ 排列，即索引 0 对应 |0⟩，索引 1 对应 |1⟩。
• 系数含义：|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ 中 α、β 为复数振幅，向量表示为 [α, β]。
• 归一化判据：⟨ψ|ψ⟩ = |α|² + |β|² = 1，允许的数值误差取 1e-9。

本例的振幅均为实数，因此向量可直接写成 [0.5, 0.8660254037844386]；若振幅含虚部，则需用复数数组表示，验证时取模平方。

符号到数组的映射关系

狄拉克符号与数组之间不是简单“去掉括号”，而是三层对应：基矢对应数组下标，振幅对应数组元素，内积对应向量模平方和。下图给出这一映射链以及归一化验证的判读路径。

可运行的转换与验证实现

下面用 Python 完成三件事：把符号描述写成振幅数组、计算归一化残差、输出可直接复用的结果。代码不依赖第三方库，仅用标准库 math，便于在任何环境复现。

import math

# 1) 符号层：按 |0⟩、|1⟩ 顺序给出复数振幅 (实部, 虚部)
amplitudes = [
    (0.5, 0.0),                    # α：|0⟩ 的振幅
    (math.sqrt(3) / 2, 0.0),       # β：|1⟩ 的振幅
]

# 2) 映射为可计算数组：实部数组与虚部数组分离，便于后续线性代数运算
real = [a[0] for a in amplitudes]
imag = [a[1] for a in amplitudes]
psi = [complex(r, i) for r, i in amplitudes]

# 3) 归一化验证：⟨ψ|ψ⟩ = Σ |a_i|^2
norm_sq = sum(abs(a) ** 2 for a in psi)
tolerance = 1e-9
residual = abs(norm_sq - 1.0)

print("psi =", psi)
print("norm_sq =", norm_sq)
print("residual =", residual)
print("normalized =", residual <= tolerance)

# 4) 由振幅直接得到测量概率（|0⟩、|1⟩ 的计算基概率）
probs = [abs(a) ** 2 for a in psi]
print("probs =", probs, "sum =", sum(probs))

预期输出（由给定输入直接推出，非实测）：

psi = [(0.5+0j), (0.8660254037844386+0j)]
norm_sq = 1.0
residual = 0.0
normalized = True
probs = [0.25, 0.75] sum = 1.0

注意 math.sqrt(3)/2 在浮点下与 0.75 的平方和恰好落在 1.0 附近，残差通常为 0 或极小值；判断时始终用容差比较，不要用 == 1.0 直接判等。

建模检查要点