4. 量子线性回归模型构建

量子线性回归的核心任务，是把经典最小二乘问题转化为量子可处理的线性方程组求解问题。设训练数据矩阵为 X（N×d），标签向量为 y，回归系数为 β，则最小二乘解满足正规方程：

XᵀX β = Xᵀy   →   A β = b
其中 A = XᵀX（d×d 对称正定矩阵），b = Xᵀy（d 维向量）

本节要解决的关键问题是：如何用量子线路实现 β = A⁻¹b，并把 β 的各分量提取出来。量子相位估计（QPE）配合受控旋转，正是实现这一目标的标准思路。

一、整体思路：从态制备到系数提取

量子求解线性方程组的流程可拆成四个环节：态制备（把 b 编码为量子态 |b⟩）、相位估计（把 A 的特征值信息写入辅助寄存器）、受控旋转（按特征值大小对目标态做幅度调制，实现 1/λ 的倒数变换）、逆相位估计与测量（把辅助寄存器解纠缠，使目标寄存器近似处于 |A⁻¹b⟩）。

需要先明确一个约定：A 为对称正定矩阵，其特征值 λ_j > 0，特征分解为 A = Σ_j λ_j|u_j⟩⟨u_j|。把 b 在该特征基下展开为 b = Σ_j β_j|u_j⟩，则解为 β = Σ_j (β_j/λ_j)|u_j⟩。整个线路的设计目标，就是让目标寄存器的幅度正比于 β_j/λ_j。

二、态制备：把 b 编码进量子态

目标寄存器初始为 |0⟩^⊗n，需制备成 |b⟩ = Σ_i b_i|i⟩ / ‖b‖。常用做法是幅度编码：用一组受控 RY 旋转把归一化后的 b 分量映射为各基态幅度。例如 d=4、b=(1,1,1,1) 时，归一化后每个幅度为 0.5，可用两级受控 RY 实现均匀叠加；若 b=(3,1,1,1)，则先对最高位做 RY(θ₁)，θ₁=2·arccos(√(9/12))≈60°，再对低位做条件旋转。实际工程中，幅度编码线路深度随 d 增长，是资源开销的主要来源之一。

三、相位估计：把 A 的特征值写入辅助寄存器

对 A 做哈密顿量模拟，构造受控酉算子 U = e^iAt。QPE 在辅助寄存器上产生：

|0⟩|b⟩  →  Σⱼ βⱼ |λ̃ⱼ⟩|uⱼ⟩
其中 |λ̃ⱼ⟩ 是 λⱼ 的 t 位二进制近似

此时辅助寄存器与目标寄存器纠缠，λ_j 的信息以相位形式存于辅助寄存器。工程上常用 Trotter 分解近似 e^iAt，若 A 为稀疏矩阵（如带状或图拉普拉斯结构），可用稀疏哈密顿量模拟，代价与稀疏度相关。

四、受控旋转：实现 1/λ 的倒数变换

这是整个线路的核心。对辅助寄存器中每个 |λ̃_j⟩ 控制一个作用于目标寄存器的 RY 旋转，旋转角满足：

θ(λ̃) = 2 · arcsin(C / λ̃)   ，   C 为归一化常数，C ≤ λ_min

旋转后目标寄存器幅度被乘以 sin(θ/2) = C/λ̃，即实现了 1/λ 的调制。选择 C 时需权衡：C 太小则整体幅度过小、测量信噪比差；C 接近 λ_min 则小特征值分量被放大，但要求 λ̃ 估计足够精确，否则 arcsin 参数越界。实际实现中，该旋转通常用一系列受控 RY 门按辅助比特逐位分解，形成“旋转树”。

五、逆 QPE 与系数提取

执行 QPE⁻¹ 后，辅助寄存器回到 |0⟩，目标寄存器近似处于：

|ψ⟩ ≈ (1/‖A⁻¹b‖) Σⱼ (βⱼ/λⱼ) |uⱼ⟩

此时对目标寄存器做计算基测量，得到各基态的概率幅即对应回归系数分量（需按 ‖A⁻¹b‖ 归一化还原）。由于单次测量只能得到一个样本，需重复采样 S 次，用频率估计概率，再乘以归一化因子得到 β 的估计值。判断结果是否可信，可检查：辅助寄存器测量结果是否集中在 |0⟩（解纠缠成功）、目标寄存器分布是否稳定、以及估计的 β 代回 Aβ 后与 b 的残差是否在容差内。

六、线路设计中的工程权衡

把上述环节落到具体线路时，需要关注三组权衡。其一是辅助比特数 t 与线路深度：t 每增加 1，相位分辨率翻倍，但受控 U 的幂次线路深度也近似翻倍。其二是旋转精度与 C 的取值：C 越接近 λ_min，小特征值分量保留越好，但对 λ̃ 的估计误差越敏感。其三是采样次数 S 与统计误差：概率估计的标准差约 1/√S，要分辨幅度相差 10% 的两个分量，S 通常需在千次量级。实际设计中，常先用经典方法估计 κ 与 λ_min，再据此确定 t、C 与 S，而不是盲目加大线路规模。

最后需要强调：本节线路输出的是量子态幅度意义上的解，提取 β 需要多次测量与归一化还原；对于 d 较小的问题，经典方法在效率上仍占优，量子线路的价值体现在 d 很大且 A 稀疏、条件数可控的场景。理解这一点，才能在后续的结果分析中正确解读量子回归的输出。