3. 回归任务的量子数据编码方法

在量子回归任务中，经典数据必须先被映射为量子态，才能进入量子线路参与计算。编码方式不仅决定了线路深度和所需量子比特数，还直接影响模型能表达的函数复杂度。本节围绕四种常用编码——基编码、振幅编码、角度编码和量子特征映射——说明它们的设计原则与适用条件，并给出可操作的实现思路。

一、基编码：把离散取值直接写进计算基

基编码（basis encoding）把长度为 n 的经典比特串 x∈{0,1}ⁿ 直接对应到 n 个量子比特的计算基态 |x⟩。例如 x = 101 编码为 |101⟩。实现上只需对取值为 1 的比特施加 X 门，无需任何旋转或受控操作，线路深度为 O(1)（并行）或 O(n)（串行）。

它的优点是态制备精确、读取时测量即得原比特串，适合离散特征、类别型变量或已经二值化的数据。缺点是每个特征占一个量子比特，特征维度高时比特开销线性增长；同时它无法直接表达连续值之间的“距离”关系，因此不适合把连续回归输入原样送入。实践中常见做法是先把连续特征分箱或阈值化，再用基编码构造离散索引，配合量子受控逻辑实现分段函数回归。

二、振幅编码：用 2ⁿ 个振幅承载归一化向量

振幅编码把归一化实向量 x（‖x‖=1）映射为 n 个量子比特的态 |ψ⟩=Σ_i x_i|i⟩，即 n 个比特可表示 2ⁿ 个分量，比特效率最高。代价是态制备线路通常较深：一般需要 O(2ⁿ) 量级的受控旋转与多控门，或借助 QRAM/数据加载子程序。若数据未归一化，需先除以范数并把范数作为经典缩放因子保留，回归输出时再乘回。

振幅编码适合高维稠密特征、图像或向量内积类回归（如量子核方法中的特征向量）。设计原则是：优先保证归一化与符号正确；对稀疏向量可用稀疏态制备减少门数；在含噪声设备上要评估制备线路深度是否超出相干时间。一个常见的教学示例是把 4 维特征 [0.5, 0.5, 0.5, 0.5] 编码为 2 比特的均匀叠加态，此时只需对两个比特各施加 H 门即可，是振幅编码的极简特例。

三、角度编码：把特征旋转成量子态相位

角度编码（angle encoding）对每个特征 x_i 施加 R_y(x_i) 或 R_x(x_i) 旋转，使量子态携带与特征成正比的相位/角度信息。它只需 n 个量子比特对应 n 个特征，线路深度浅、易实现，是变分量子回归中最常用的输入层。设计要点有三：

• 数值范围：旋转角以弧度计，通常把特征缩放到 [−π, π] 或 [0, π]，避免周期混叠导致不同输入映射到同一态。
• 重复编码：单次角度编码的表达能力有限，可在变分层之间多次重上传（data re-uploading），提升模型对非线性函数的拟合能力。
• 可观测设计：回归输出一般取某个可观测量（如 Z₀）的期望值，其范围是 [−1,1]，需在训练前确定好标签的缩放与反变换。

角度编码适合中小维度连续特征、需要浅层线路的 NISQ 场景，以及以期望值作为回归输出的变分模型。

四、量子特征映射：把编码当作可设计的特征变换

量子特征映射（quantum feature map）不满足于“把数据搬进量子态”，而是把编码线路 φ(x) 视为一个非线性特征变换，使量子态在高维希尔伯特空间中的内积 K(x,x′)=|⟨φ(x)|φ(x′)⟩|² 充当核函数。典型形式是逐层的数据依赖旋转加纠缠：

for layer in range(L):
    for q in range(n):
        Ry(x[q] * w[layer]) on qubit q
    for (q1, q2) in entangling_pairs:
        CNOT(q1, q2)

设计原则是：映射的复杂度要与数据规模和任务难度匹配；纠缠层决定特征交叉能力，层数 L 过大会导致核矩阵集中（kernel concentration），使不同样本难以区分；映射一旦选定，通常固定不训练，训练只发生在后续变分层或经典读出层。它适合分类边界复杂、样本量中等的任务，也可用于回归中的相似度建模。

五、如何在实际回归任务中做选择

选择编码方式时，建议按“数据形态 → 硬件约束 → 输出形式”三步判断。数据形态上，离散或已二值化的特征优先基编码；高维稠密向量优先振幅编码；中小维连续特征优先角度编码；若任务本身依赖样本间相似度或需要强非线性边界，则考虑量子特征映射。硬件约束上，振幅编码的制备深度往往是最先触碰相干时间上限的环节，含噪设备应优先角度编码或浅层特征映射。输出形式上，若回归输出取可观测量期望值，角度编码与特征映射天然匹配；若输出是离散索引或分段常数，基编码配合受控逻辑更直接。

需要强调的是，编码不是“越复杂越好”。角度编码配合数据重上传，在多数中小规模回归任务中已能提供足够的表达能力；盲目增加特征映射层数反而会因核集中导致模型对输入不敏感。一个实用的检查方法是：在训练前先计算若干样本对之间的核值或态重叠度，若不同样本的量子态几乎不可区分，说明编码映射过强或缩放不当，应先调整特征缩放与层数，再进入训练。

最后，无论采用哪种编码，都应在同一套参照约定下完成标签缩放与反变换：角度编码的旋转角以弧度为单位，可观测量期望值落在 [−1,1]，因此训练标签需先线性映射到该区间，预测后再逆映射回原量纲。把编码、可观测量与标签缩放作为一个整体设计，才能保证回归结果可解释、可复现。