4. 筛选策略的数学建模
在QKD后处理链路中，基矢筛选（Sifting）位于原始探测事件之后、误码估计与纠错之前。它的任务是把Alice与Bob各自记录的原始事件，按“双方基矢是否一致”这一条件进行配对与取舍。工程上这一步看似只是查表比对，但一旦要评估系统性能、设计筛选协议、或分析安全性，就必须把它写成可计算的数学模型：筛选规则决定哪些事件被保留，筛选效率决定保留多少，误筛概率决定保留得对不对，而最终密钥长度与安全参数则由前两者共同约束。
一、筛选规则的形式化描述
设Alice在第 i 个时间窗发送的基矢为 ai ∈ {Z, X}，比特值为 xi ∈ {0,1}；Bob选择的测量基矢为 bi ∈ {Z, X}，测量结果为 yi ∈ {0,1}。筛选规则可定义为一个指示函数：
S(i) = 1 当且仅当 a_i = b_i
S(i) = 0 当且仅当 a_i ≠ b_i筛选后的密钥串为 KA = {xi | S(i)=1}，KB = {yi | S(i)=1}。更一般地，可引入筛选映射 f: (ai, bi) → {保留, 丢弃}，并允许“基矢公布”与“筛选”分离：Alice与Bob先通过认证经典信道交换基矢信息（不泄露比特值），再各自本地执行 f。形式化描述的关键在于明确三件事：筛选判据只依赖基矢、不依赖比特值；筛选是双方独立可复现的确定性操作；筛选后必须保持 KA 与 KB 的位置一一对应，否则后续误码估计会错位。
二、筛选效率与误筛概率的量化
在理想BB84中，Alice与Bob的基矢独立均匀随机选取，双方一致的概率为 psift = 1/2，因此筛选效率 ηsift ≈ 0.5。但实际系统存在基矢偏置、光源不完美、探测器死时间与经典信道丢包，实际效率需写成：
η_sift = N_kept / N_raw
= (N_raw · p_match · p_sync · p_class) / N_raw
= p_match · p_sync · p_class其中 pmatch 为基矢一致率，psync 为时间窗同步成功率，pclass 为基矢公布信息在经典信道上的完整到达率。若Alice以概率 q 选Z基、以 1−q 选X基，Bob同样以 q 选Z基，则 pmatch = q2 + (1−q)2，当 q=0.5 时取最小值 0.5，偏置反而会提高一致率，但会削弱对X基窃听的检测灵敏度，因此不能只看效率。
误筛概率指“本应保留却被丢弃”或“本应丢弃却被保留”的概率。前者主要来自基矢信息传输错误与同步错位，记为 Pmiss；后者来自基矢记录被篡改或信道误码导致判据翻转，记为 Pfalse。在基矢公布比特误码率为 eb 的模型下，单事件误判概率近似为 Pfalse ≈ eb，而 Pmiss ≈ eb + Psync。误筛不会直接产生密钥比特错误，但会破坏 KA 与 KB 的对齐，使误码估计样本失真，因此工程上通常要求 Pfalse 低于 10−6 量级，并对基矢公布信息做认证与纠错。
三、筛选后密钥长度与安全参数的关系
筛选后的密钥长度并不等于最终安全密钥长度。设原始事件数为 Nraw，筛选后保留 ℓsift = Nraw·ηsift·(1−Pfalse) − Ntest，其中 Ntest 是用于误码估计而消耗的样本数。随后经过误码估计得到量子比特误码率 e，纠错泄露 leakEC，隐私放大压缩量 Δ，最终密钥长度满足：
ℓ_final ≤ ℓ_sift · [1 − h(e) − leak_EC/ℓ_sift − Δ/ℓ_sift]其中 h(e) 为二元熵函数。安全参数 εsec 与 Δ 的关系可近似写为 Δ ≈ log2(1/εsec) + 常数项，即要求更高的安全性（更小的 εsec）就要付出更多压缩量。由此可以看出三条工程结论：其一，提高 ηsift 直接线性放大 ℓsift；其二，降低 Pfalse 既保住长度又保住对齐；其三，e 与 εsec 通过熵项与压缩项共同挤压最终长度，因此筛选阶段不能只追求“多留”，还要保证“留得对”。
把上述关系落到实现上，筛选模块应输出三组可核对的数据：保留事件索引表、基矢一致率统计、以及误筛告警计数。索引表保证 KA 与 KB 严格对齐；一致率统计用于反推 pmatch 是否偏离设计值；误筛告警计数则用于监控 Pfalse 是否越界。只有这三者同时受控，筛选后的密钥长度与安全参数之间的数学关系才真正可计算、可验证。