2. 量子力学基础与量子比特
要理解量子密钥分发为什么能提供“物理层面”的安全性，必须先弄清量子力学描述世界的基本语言。本节从态矢量出发，依次讲清叠加原理、测量假设和不可克隆定理，最后落到量子比特在物理上究竟如何实现——偏振、相位等编码方式。这些概念不是抽象装饰，而是后续分析 BB84、E91 等协议安全性时反复用到的工具。
态矢量：量子状态的数学载体
在量子力学中，一个孤立量子系统的状态用一个复希尔伯特空间中的单位矢量描述，记作 |ψ⟩，称为态矢量（右矢）。对量子比特（qubit）而言，这个空间是二维的，任取一组正交归一基 {|0⟩, |1⟩}，任意纯态都可写成
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, α, β ∈ ℂ, |α|² + |β|² = 1其中 α、β 称为概率幅，是复数，携带模和相位两重信息。归一化条件保证总概率为 1。注意 |0⟩、|1⟩ 只是记号，与经典比特的 0/1 并非同一回事：它们代表两个可区分的基态，物理上可以是光子的水平/垂直偏振、两条路径、两个能级等。
由于全局相位不可观测，一个量子比特的纯态实际只有两个实自由度，常用布洛赫球表示：球面上的每一点对应一个纯态，北极是 |0⟩，南极是 |1⟩，赤道上的点则是 |0⟩ 与 |1⟩ 的等幅叠加。这个几何图像在讨论测量基选择时非常直观。
叠加原理：不是“不知道”，而是“同时存在”
叠加原理指出，若 |0⟩ 和 |1⟩ 都是系统可能的状态，则它们的任意线性组合也是可能状态。典型例子是
|+⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2
|−⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2|+⟩ 与 |−⟩ 构成另一组正交归一基，称为 X 基（或对角基），而 {|0⟩, |1⟩} 称为 Z 基（或计算基）。同一个态 |+⟩ 在 Z 基下测量会以各 1/2 的概率得到 0 或 1，在 X 基下测量则确定得到“+”。这说明“态本身”与“用哪组基去描述/测量”是两件事，基的选择直接决定测量结果的确定性。BB84 协议正是利用 Z 基与 X 基的互不兼容（非正交）来制造窃听者无法完美区分的不确定性。
测量假设：为什么测量会改变状态
量子力学的测量假设可概括为：对态 |ψ⟩ 测量一个可观测量 A，若 A 的本征分解为 A = Σₐ a·Pₐ（Pₐ 为到本征子空间的投影算符），则
- 测量结果只能是某个本征值 a，出现概率为 p(a) = ⟨ψ|Pₐ|ψ⟩；
- 测量后系统状态坍缩为 Pₐ|ψ⟩/√p(a)（归一化后）。
对量子比特在 Z 基下测量，投影算符为 P₀=|0⟩⟨0|、P₁=|1⟩⟨1|，于是 p(0)=|α|²、p(1)=|β|²。关键推论是：测量一般不可逆地改变状态。若先测 Z 基得到 0，态已坍缩为 |0⟩，再测 X 基就只能得到随机结果，原先 |+⟩ 的相干性被破坏。这一“测量扰动”是量子密钥分发中检测窃听的理论根基：Eve 的拦截—重发必然引入可被统计发现的误码。
还需区分两类测量：投影测量（强测量）会完全破坏叠加；而实际探测器往往是非理想测量，存在暗计数、探测效率 η<1 等问题，工程上需用诱骗态等方法补偿。理论上的“理想测量”是分析安全性的起点，实际系统则要在其基础上做偏差修正。
不可克隆定理：量子信息不能被“复印”
不可克隆定理（No-Cloning Theorem）断言：不存在一个酉变换 U，能把任意未知量子态 |ψ⟩ 完美复制，即 U(|ψ⟩|0⟩)=|ψ⟩|ψ⟩ 对所有 |ψ⟩ 成立。证明思路很简洁：若对 |0⟩ 和 |1⟩ 都能克隆，则由线性性，对叠加态 |+⟩ 的克隆结果应为 (|00⟩+|11⟩)/√2，这是一个纠缠态，而非 |+⟩|+⟩，矛盾。
该定理的直接工程含义是：窃听者无法在不扰动原状态的前提下复制传输中的量子比特，因此“截获—复制—转发”的经典窃听策略在量子信道上失效。但要注意，不可克隆并不等于“不能产生已知态的多份拷贝”——制备已知的 |0⟩ 可以任意复制；它限制的是对未知态的复制。此外，它也不禁止“先测量再按结果制备”，但测量本身已引入扰动，这正是安全性来源。
量子比特的物理实现：偏振与相位
量子比特必须“寄生”在某个真实物理系统上。工程上最常见的是把信息编码到单个光子的自由度上，因为光子传播损耗低、抗退相干能力强，适合光纤或自由空间信道。
偏振编码利用光子的偏振方向：水平偏振 H 记作 |0⟩，垂直偏振 V 记作 |1⟩，构成 Z 基；+45° 与 −45° 线偏振构成 X 基。发送端用偏振调制器或波片组制备，接收端用偏振分束器（PBS）配合单光子探测器测量。这种方案直观、调制简单，但偏振态在标准单模光纤中会因双折射而随机旋转，长距离传输需要偏振补偿或改用偏振保持光纤。
相位编码则利用光子在不同路径（或不同时间窗口）之间的相对相位：例如不等臂马赫—曾德尔干涉仪中，短路径与长路径的相位差为 0 记作 |0⟩、为 π 记作 |1⟩。接收端通过干涉把相位信息转换为探测器上的计数差异。相位编码对光纤双折射不敏感，更适合长距离光纤 QKD，但要求干涉仪两臂长度差稳定在亚波长量级，对温度与振动控制提出较高要求。
此外还有时间编码（早/晚时间窗口）、频率编码、以及基于原子能级、超导约瑟夫森结、量子点自旋等固态实现。选择哪种物理载体，取决于信道类型、传输距离、探测技术和成本约束。下表给出偏振与相位两种主流光子编码的工程对比（示例性归纳，具体指标随器件与场景变化）。
| 对比项 | 偏振编码 | 相位编码 |
|---|---|---|
| 信息载体 | 偏振方向（H/V、±45°） | 路径或时间窗口的相对相位 |
| 典型基 | Z：H/V；X：±45° | Z：相位 0/π；X：相位 ±π/2 |
| 主要优势 | 制备与测量直观，器件成熟 | 抗光纤双折射，适合长距离 |
| 主要挑战 | 偏振漂移需补偿 | 干涉臂长差需亚波长稳定 |
| 典型场景 | 自由空间、短距光纤 | 长距光纤 QKD |
从原理到工程：一个可操作的观察示例
假设在实验台上用衰减激光源加偏振片制备 |+⟩ 态（即 45° 线偏振），送入单光子探测器前分别插入 Z 基与 X 基分析器。操作与预期如下（示例参数，用于说明判读逻辑，非实测数据）：
- 将偏振分析器设为 H/V（Z 基），累计计数约 10000 次，预期 H 与 V 通道各约 5000 次，比例接近 1:1；
- 将分析器旋转 45° 设为 X 基，预期“+”通道接近全部计数，“−”通道仅剩暗计数与本底；
- 若 X 基下“−”通道计数显著偏高，说明制备态偏离 |+⟩ 或存在偏振旋转，需要检查波片角度与光纤连接。
这个简单实验同时体现了叠加、基选择与测量坍缩三件事：同一物理态在不同基下呈现完全不同的统计行为，而测量一旦发生，态即被投影。理解这一点，就为后续学习 BB84 的基比对、误码率估计与窃听检测打下了直接基础。