3. 典型量子信道模型
在量子密钥分发（QKD）与量子通信系统中，量子态从发送端到接收端要经过光纤、自由空间、探测器等物理介质，任何真实信道都不是理想的幺正演化。为了定量描述噪声对量子态的影响，并把“窃听”与“自然噪声”区分开来，我们需要建立可计算的量子信道模型。本节聚焦三类最典型、也最常被用于安全性分析的信道：退极化信道、振幅阻尼信道和相位阻尼信道，说明它们的数学形式、物理来源，以及它们分别破坏量子态的哪一类信息。
一、量子信道的统一描述：完全正定保迹映射
量子信道在数学上是一个完全正定保迹映射（CPTP map）\(\mathcal{E}\)，作用在密度矩阵上：\(\rho \mapsto \mathcal{E}(\rho)\)。其算符和表示（Kraus 表示）为
\(\mathcal{E}(\rho)=\sum_{k} E_k \rho E_k^{\dagger}\)，且满足 \(\sum_k E_k^{\dagger}E_k = I\)。
保迹条件保证了概率守恒，完全正定保证了与辅助系统纠缠时仍得到合法量子态。不同信道模型的区别，本质上就是 Kraus 算符集合 \(\{E_k\}\) 及其概率参数的不同。理解这一点后，三类信道就可以放在同一框架下对比：它们分别对应“以一定概率完全随机化”“以一定概率丢失一个光子”“以一定概率引入相对相位扰动”。
二、退极化信道：对称地“抹去”量子信息
退极化信道是最具对称性的噪声模型。直观地说，它以概率 \(1-p\) 保持量子态不变，以概率 \(p\) 将量子态替换为完全混合态 \(I/2\)。其 Bloch 球图像非常清晰：整个 Bloch 球被均匀压缩为半径 \((1-4p/3)\) 的同心球，当 \(p=3/4\) 时球退化为原点，即完全混合态。
物理来源包括：光纤中的偏振模随机扰动、自由空间大气湍流引起的偏振漂移、以及探测器暗计数导致的随机翻转。在 QKD 安全性分析中，退极化信道常被用作“最坏情况”的对称噪声上界——如果窃听者 Eve 的截获重发攻击在统计上等价于某个退极化信道，我们就可以用该信道的参数来约束 Eve 可获得的信息量。
一个常用的教学示例：设单光子偏振编码的 QBER 实测为 \(e=8\%\)，在仅考虑退极化噪声的假设下，可近似取 \(p = 4e/3 \approx 10.7\%\)。此时信道容量（以量子比特为单位）可用相干信息估算，但更实用的判断是：当 \(e\) 超过约 11% 时，BB84 的简化安全性界已被突破，需要触发告警。注意这里的数值是示例性假设，实际系统还需结合诱骗态、探测器效率等修正。
三、振幅阻尼信道：能量泄漏与光子丢失
振幅阻尼信道描述的是能量耗散过程：激发态 \(|1\rangle\) 以概率 \(\gamma\) 衰变到基态 \(|0\rangle\)，同时向环境释放能量；基态 \(|0\rangle\) 保持不变。它最贴近光纤衰减和自发辐射的物理现实。其 Kraus 算符为
\(E_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-\gamma}\end{pmatrix},\quad E_1=\begin{pmatrix}0&\sqrt{\gamma}\\0&0\end{pmatrix}\)。
在 Bloch 球上，振幅阻尼不是简单收缩，而是把整个球向 \(|0\rangle\) 极点平移并压扁：\(z\) 分量变为 \((1-\gamma)z+\gamma\)，而 \(x,y\) 分量按 \(\sqrt{1-\gamma}\) 衰减。这意味着即使输入是纯态，输出也可能是混合态，且布居数发生偏移。
工程上，振幅阻尼直接对应“光子没到达”。在 QKD 中它表现为计数率下降和传输距离受限；在量子存储与中继中，它表现为存储保真度随等待时间指数下降。实际处理时，我们通常用 \(\gamma = 1-e^{-\alpha L}\) 把光纤衰减系数 \(\alpha\)（dB/km）与长度 \(L\) 关联起来，再折算为等效的振幅阻尼参数，用于链路预算与密钥率预估。
四、相位阻尼信道：相干性的“隐形”损失
相位阻尼信道不改变能量布居，只破坏量子态之间的相对相位。其 Kraus 算符为 \(E_0=\sqrt{1-\lambda}\,I\)，\(E_1=\sqrt{\lambda}\,|1\rangle\langle 1|\)。作用在密度矩阵上，对角元 \(\rho_{00},\rho_{11}\) 不变，而非对角元 \(\rho_{01}\) 按因子 \((1-\lambda)\) 衰减。
这类信道在物理上对应：光纤中随机的双折射相位漂移、环境对相位编码量子比特的退相干、以及干涉仪臂长热漂移。它的危险之处在于“隐蔽”——光子数没少、能量没丢，但干涉可见度下降，导致相位编码 QKD 的误码率上升而计数率几乎不变。因此，仅监控光功率无法发现相位阻尼型攻击，必须结合干涉可见度或 QBER 的统计监测。
教学示例：设相位编码 QKD 的干涉可见度从理想的 1.0 降到 0.92，若仅由相位阻尼解释，则 \(\lambda \approx 0.08\)。此时若系统仍报告低 QBER，就应怀疑测量或标定环节存在问题，而不是简单归因于“信道变差”。
五、三类信道的对比与选用
| 信道 | 关键参数 | 被破坏的信息 | 典型物理来源 | 可观测征兆 |
|---|---|---|---|---|
| 退极化 | p（翻转概率） | 整体量子信息，Bloch 球均匀收缩 | 偏振随机扰动、暗计数 | QBER 对称上升 |
| 振幅阻尼 | γ（衰减概率） | 能量/布居，向 |0⟩ 偏移 | 光纤衰减、自发辐射 | 计数率下降、保真度降低 |
| 相位阻尼 | λ（退相干强度） | 相干项，干涉可见度 | 双折射漂移、热漂移 | 可见度下降而功率不变 |
掌握这三类模型的意义在于：它们为“噪声”提供了可计算、可反演的参数化语言。后续讨论窃听模型时，我们将把 Eve 的攻击行为映射为某个等效信道，从而把“是否安全”转化为“等效信道参数是否越过安全阈值”这一可判定的问题。