2. 量子信道数学模型
上一节我们把窃听者Eve抽象为“与主信道发生相互作用的第三方”。要把这个直觉变成可分析、可计算的对象，就必须给量子信道建立严格的数学表示。本节的核心结论是：任何合法的量子信道都是一个完全正、迹保持的线性映射（CPTP映射），它可以用Kraus算子显式写出，并由此定义信道容量这一衡量“能可靠传多少信息”的指标。掌握这三层结构，后续的窃听建模与安全判据才有统一的语言。
一、信道是映射，不是矩阵
经典信道用转移概率矩阵描述，量子信道则必须用作用于密度算子的映射来描述。设输入系统为A、输出系统为B，信道记为
ℰ : ρ_A → ρ_B = ℰ(ρ_A)， ρ_A, ρ_B 均为半正定、迹为1的算子为什么不能直接用矩阵？因为信道可能改变系统维数（如光子丢失后维数不变但状态改变），也可能与辅助系统纠缠。若只要求“把密度矩阵映成密度矩阵”，会漏掉一类关键约束：当输入与一个参考系统R纠缠时，映射作用在A上、保持R不动，得到的联合态ℰ⊗I_R(ρ_AR)仍必须是合法的量子态。这一要求正是“完全正”的来源。
二、CPTP映射：三条公理的物理含义
合法量子信道ℰ需同时满足：
- 线性：ℰ(αρ₁+βρ₂)=αℰ(ρ₁)+βℰ(ρ₂)，源于量子力学的线性叠加。
- 完全正（CP）：对任意维数的辅助系统R，(ℰ⊗I_R)把半正定算子映为半正定算子。仅“正”不够，反例是转置映射，它单独作用保持正性，但与辅助系统纠缠后会产生负本征值。
- 迹保持（TP）：tr[ℰ(ρ)]=tr[ρ]=1，保证概率守恒，输出仍是归一化量子态。
三者合称CPTP。它既是数学约束，也是物理可实现性的判据：任何CPTP映射都可由“与一个环境系统做联合幺正演化、再丢弃环境”实现，这正是Stinespring扩张定理的内容，也直接对应窃听模型中Eve持有环境的情形。
三、Kraus算子表示：把映射拆成算子和
CPTP映射最实用的显式形式是Kraus表示：存在一组算子{K_i}，使得
ℰ(ρ) = Σ_i K_i ρ K_i†
约束：Σ_i K_i† K_i = I （迹保持条件）Kraus算子个数不唯一，但最少个数称为Kraus秩，它反映信道“引入多少条不可区分的路径”。下面用三个典型信道说明如何从物理过程写出Kraus算子，并观察参数如何影响输出。
示例（参数为教学设定，非实测）：设输入为单比特态ρ，取基{|0⟩,|1⟩}。
① 比特翻转信道，翻转概率p=0.1：K₀=√(1−p)·I，K₁=√p·X。当ρ=|0⟩⟨0|时，输出为0.9|0⟩⟨0|+0.1|1⟩⟨1|，即保真度0.9。
② 退相位信道，相位随机化强度λ=0.2：K₀=√(1−λ/2)·I，K₁=√(λ/2)·Z。输入|+⟩=(|0⟩+|1⟩)/√2时，输出相干项从1/2降为(1−λ)/2=0.4，布居数不变。
③ 振幅阻尼信道（模拟能量损耗），阻尼系数γ=0.1：K₀=[[1,0],[0,√(1−γ)]]，K₁=[[0,√γ],[0,0]]。输入|1⟩时，输出以0.1概率变为|0⟩，以0.9概率保持|1⟩。
这三个例子说明：Kraus算子直接编码了“发生了什么物理过程”，而参数p、λ、γ就是可调的信道强度。在窃听分析中，Eve的窃听强度往往就体现为某个Kraus参数，安全判据则转化为对该参数的阈值约束。
四、信道容量：从映射到“能传多少”
有了映射，就能定义容量。经典容量C衡量在信道多次使用、允许编码解码的情况下，可可靠传输的经典比特率上限。对量子信道，最常用的是经典容量（也称Holevo容量）：
C(ℰ) = max_{p_i, ρ_i} [ S(Σ_i p_i ℰ(ρ_i)) − Σ_i p_i S(ℰ(ρ_i)) ]其中S(·)为冯·诺依曼熵，最大化遍历所有输入系综{p_i, ρ_i}。括号内即Holevo信息量χ，直观含义是“输出平均熵减去各输入对应输出熵的加权平均”，也就是输出中可被区分的部分。若信道无噪声，χ可达1比特/次；若信道完全退相位且输入为计算基，χ降为0。
此外还有量子容量Q，衡量可靠传输量子比特（保纠缠）的速率，其一般公式涉及相干信息，计算远比经典容量复杂。对教学与安全分析而言，抓住两点即可：容量是信道参数的单调整函数，噪声越强容量越低；窃听者的存在等价于主信道参数被恶化，因此安全密钥率的上界可直接用信道容量框架来估计。
实用判断：在建模窃听时，先写出主信道的Kraus算子并标出可调参数，再计算该参数下的Holevo信息量χ。若χ随窃听强度增大而快速下降，说明该信道对窃听敏感；若χ几乎不变，则需检查是否选错了输入系综，或窃听仅影响相位而不影响可区分性。
五、建模时的常见误区
第一，把“正映射”当“完全正映射”，导致与辅助系统纠缠时出现负概率，这在分析Eve持有纠缠时尤其致命。第二，写出Kraus算子后忘记验证ΣK_i†K_i=I，迹不保持的映射会给出错误的归一化结果。第三，混淆经典容量与量子容量，用Holevo容量去论证量子密钥分发中的量子比特率，结论会偏乐观。第四，忽略Kraus表示的不唯一性，误以为某组算子就是“唯一物理过程”——实际上不同Kraus分解对应环境的不同基选择，物理预言一致。